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Rough analysis with application in markets and related fields

Hager, Paul Peter

We treat several topics related to stochastic processes and rough analysis. The problems we consider are motivated from the recent developments in rough volatility models and the recent proposition of rough price models in energy markets. Such models require the development of new methodology for pricing financial derivatives, as the Markov property in general does not hold true and the irregularity of the sample paths introduces numerical difficulties. An important concept from rough analysis that is central to the first and the second part of this thesis is the signature of a path. In the second and third part we consider stochastic control problems, as they appear for example in the pricing of American options. The fourth part focuses on limiting behavior of a rough model when the Hölder regularity vanishes. More specifically, in the first part we establish a universal functional relation for the signature cumulant in a general semimartingale context. Our work exhibits the importance of Magnus expansions in the algorithmic problem of computing expected signature cumulants, and further offers a far-reaching generalization of recent results on characteristic exponents dubbed diamond and cumulant expansions. The significance of the main result is illustrated in a variety of examples. In second part we propose a new method for solving optimal stopping problems that apply under minimal assumptions to the underlying process. We proof that the optimal stopping problem can be solved while restricting to stopping times that are parametrized by linear functionals of the signature associated to the underlying process. Further, using the log-signature as a feature set for a deep neural network we can efficiently solve the optimal stopping problem numerically. The methodology applies particularly to processes that fail to be either semimartingales or Markov processes, such as fractional Brownian motion, and can be used, in particular, for American-type option pricing. In the third part we consider a more general class of stochastic control problems. For this sake, we assume that the underlying process is Markovian, which allows to use the dynamic programming principle and to approximate the conditional expectation of the value function by a linear functional regression. We propose a method for reinforcing the set of basis functions with the value function from the previous step in the backwards induction. This method improves the numerical accuracy while introducing relatively few additional costs, in particular in situations where the underlying process is high dimensional. The efficiency of the method is demonstrated in several numerical evaluations. In the fourth and final part we are concerned with the limiting behavior of a family of fractional Brownian fields when the Hurst parameters tends to zero. Therefore we first propose a large class of normalizations that ensures the convergence to a log-correlated Gaussian field. We then derive the convergence of the exponential measure associated to the normalized fractional Brownian fields towards a Gaussian multiplicative chaos. The convergence holds for intermittency parameters beyond the L2- phase. Regarding financial applications, a remarkable corollary of our result is that the volatility process of a log-normal rough volatility model with small Hurst parameter is supported on the sets of so-called “good points” of the field with probability close to one.
Wir behandeln verschiedene Themen aus dem Bereich der stochastischen Prozessen und der rauen Analysis. Eine zentrale Motivation für die betrachteten Probleme sind die kürzlichen Entwicklungen in den rauen Volatilitätsmodellen und die kürzlich präsentierten rauen Preismodelle in Energiemärkten. Diese Modelle verlangen die Entwicklung neuer Methoden für das bewerten von Finanzderivaten, da die Markov-Eigenschaft im Allgemeinen nicht mehr angenommen werden kann und die Irregularität der Pfade zu numerischen Schwierigkeiten führt. Ein wichtiges Konzept der rauen Analysis, dass eine zentrale Rollen im ersten und zweiten Teil der Dissertationsschrift spielt, ist die Signatur eines Pfades. Im zweiten und dritten Teil betrachten wir stochastische Kontrollprobleme, solche die zum Beispiel beim Bewerten amerikanischer Optionen entstehen. Genauer präsentieren wir im ersten Teil eine universelle funktionale Gleichung für die Signatur- Kumulanten im Rahmen allgemeiner Semimartingale. Unser Resultat stellt die Bedeutung der Magnus-Entwicklung in der algorithmischen Berechnung von Signatur-Kumulaten dar und verallgemeinert kürzlich präsentierte Resultate im Zusammenhang mit der Berechnung von klassischen Kumulanten in gefilterten Wahrscheinlichkeiträumen. Wir illustrieren die Bedeutung des Hauptresultates an einer breiten Reihe von Beispielen. Im zweiten Teil stellen wir eine neue Methode zu Lösung von optimalen Stoppproblemen mit minimalen Annahmen an den unterliegenden Prozess vor. Wir zeigen, dass das optimale Stoppproblem unter Einschränkung auf eine Klasse von Stoppzeiten gelöst werden kann, die durch linear Funktionale der Signatur parametrisiert ist. Darüber hinaus nutzen wir die logarithmische Signatur als Featureset für ein neuronales Netz und können somit effiziente numerische Lösungen des optimalen Stoppproblems errechnen. Die Methode findet insbesondere Anwendung für Prozesses die weder Semimartingale noch Markov sind, wie zum Beispiel die fraktionelle Brownsche Bewegung, und kann verwendet werden um amerikanische Optionen zu bewerten. Im dritten Teil befassen wir uns mit einer allgemeineren Klasse von optimalen Kontrollproblemen. Hierfür nehmen wir an, dass der unterliegende Prozess die Markov-Eigenschaft besitz, was erlaubt das Prinzip der dynamischen Programmierung anzuwenden und die bedingte Erwartung der Wertfunktion mittels einer linear funktionalen Regression zu approximieren. Wir stellen eine Methode vor die es erlaubt die Basisfunktionen der Regression mit der Wertfunktion aus dem vorherigen Schritt der Rückwertsinduktion zu verstärken. Diese Methode erlaubt es die numerische Genauigkeit der Methode zu verbessern, während die Rechenkosten nur relativ gering angehoben werden. Besonders dann, wenn die Dimension des unterliegend Prozesses hoch ist. Die Wirksamkeit der Methode wird in mehreren numerischen Bespielen demonstriert. Im vierten und letzen Teil fokussieren wir uns auf das Verhalten einer Familie von fraktionellen Brownschen Bewegungen wenn der Hurst-parameter gegen Null strebt. Hierzu stellen wir eine große Klasse von Normalisierungen, vor die sicher stellen, dass die Konvergenz gegen ein logarithmisch korreliertes Gaußsches Feld gegeben ist. Danach zeigen wir die Konvergenz des zur normalisierten Brownschen Bewegung assoziierte exponentiellen Maßes gegen ein Gaußsches multiplikatives Chaos. Die Konvergenz hält für Intermittenzparameter über die L2-Phase hinaus. Ein herausragendes Korollar unseres Resultats bezüglich der finanzmathematischen Anwendung ist, dass der Volatilitätsprozess eines rauen Modells mit kleinem Hurst-Parameter seinen Träger mit einer Wahrscheinlichkeit nahe bei Eins auf der Menge der sogenannten „guten Punkte“ des Feldes hat.