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Mathematical analysis of large-scale biological neural networks with delay

Mehri, Sima

It is well-known that the components of the solution to a system of N interacting stochastic differential equations with an averaged sum of interaction terms and with independent identically distributed (chaotic) initial values, as N tends to infinity, converge to the solutions of Vlasov-McKean equations, in which the averaged sum is replaced by the expectation. Since the solutions to the corresponding Vlasov-McKean equations are independent, this phenomenon is called propagation of chaos. This thesis is about well-posedness of path-dependent stochastic differential equations, propagation of chaos for spatially structured neural network with delay and existence and uniqueness of weak solutions to Vlasov-McKean equations. In Chapter 2, existence and uniqueness of strong solution to path-dependent stochastic differential equations driven by martingale noise under local monotonicity and coercivity assumptions with controls with respect to supremum norm are obtained. Because the noise coefficient is not separately coercive and local monotone, using ordinary Gronwall lemma together with Burkholder-Davis-Gundy theorem is impossible. As a solution to this issue, following [42], a stochastic Gronwall lemma for càdlàg martingales is proved. This result is obtained in joint work with Michael Scheutzow. In Chapter 3, we consider spatially structured neural networks driven by martingale noise with monotone coefficients, fully path-dependent delay and with a disorder parameter. Well-posedness of the network equations is implied by the first result. Well-posedness for the associated Vlasov-McKean equation and a corresponding propagation of chaos result in the infinite population limit are proven. Our existence result for the Vlasov-McKean equation is based on the Euler approximation, that is applied to this type of equation for the first time. This result is obtained in joint work with Michael Scheutzow, Wilhelm Stannat, and Bijan Z. Zangeneh. In Chapter 4, we present a Lyapunov type approach to the problem of existence and uniqueness of general law-dependent stochastic differential equations. In the existing literature, most results concerning existence and uniqueness are obtained under regularity assumptions of the coefficients with respect to the Wasserstein distance. Some existence and uniqueness results for irregular coefficients have been obtained by considering the total variation distance. Here we extend this approach to the control of the solution in some weighted total variation distance, that allows us now to derive a rather general weak uniqueness result, merely assuming measurability and certain integrability on the drift coefficient and some non-degeneracy on the dispersion coefficient. We also present an abstract weak existence result for the solution of law-dependent stochastic differential equations with merely measurable coefficients, based on an approximation with law-dependent stochastic differential equations with regular coefficients under Lyapunov type assumptions. This result is obtained in joint work with Wilhelm Stannat.
Es ist bekannt, dass die Lösungen von Systemen mit N wechselwirkenden stochastischen Differentialgleichungen, die über ihre Mittelwerte interagieren, bei unabhängig und identisch verteilten (chaotischen) Anfangsbedingungen für N gegen unendlich gegen die Lösung einer Vlasov-McKean Gleichung konvergieren, in der die Mittelwerte durch ihren Erwartungswert ersetzt werden. Da die einzelnen Komponenten der Vlasov-McKean Gleichungen unabhängig sind, spricht man auch von "propagation of chaos". Diese Arbeit behandelt die Wohlgestelltheit von pfadabhängigen stochastischen Differenzialgleichungen, das propagation of chaos für räumlich strukturierte neuronale Netzwerke mit delay sowie die Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen von Vlasov-McKean Gleichungen. Als erstes Resultat der Arbeit beweisen wir Existenz und Eindeutigkeit von starken Lösungen pfadabhängiger stochastischer Differenzialgleichungen mit allgemeinem Martingalrauschen unter lokalen Monotonie- und Koerzivitätsbedingungen mit Wachstumsschranken in der Supremumsnorm. Da der noise-Koeffizient für sich alleine genommen weder koerziv noch lokal monoton sein muss, ist die Anwendung des Gronwall-Lemmas in Verbindung mit der Burkholder-Davis-Gundy Ungleichung unmöglich. Als Lösung dieses Problems beweisen wir, analog zu [42] ein stochastisches Gronwall-Lemma für càdlàg-Martingale. Dieses Ergebnis ist in Zusammenarbeit mit Michael Scheutzow entstanden. Für unser zweites Resultat betrachten wir räumlich strukturierte neuronale Netzwerke mit Martingalrauschen unter Monotoniebedingungen, mit allgemeinem pfadabhängigen delay und einem Unordnungsparameter. Die Wohlgestelltheit der Netzwerkgleichung folgt aus unserem ersten Resultat. Wir beweisen die Wohlgestelltheit der zugehörigen Vlasov-McKean Gleichung, sowie ein zugehöriges propagation of chaos Resultat im Grenzwert unendlicher Populationen. Unser Existenzresultat basiert auf einer Euler-Approximation, die auf Gleichungen diesen Typs erstmals angewandt wird. Dieses Resultat ist in Zusammenarbeit mit Michael Scheutzow, Wilhelm Stannat und Bijan Z. Zangeneh entstanden. Für unser drittes Resultat verwenden wir Lyapunovmethoden zum Beweis der Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen allgemeiner verteilungsabhängiger stochastischer Differenzialgleichungen. Die meisten in der Literatur bekannten Existenz- und Eindeutigkeitsresultate sind unter Regularitätsannahmen an die Koeffizienten bzgl. der Wassersteinmetrik bewiesen. Für den Fall mit nichtregulären Koeffizienten gibt es in der Literatur Existenz- und Eindeutigkeitsresultate in der totalen Variationsnorm. In dieser Arbeit verallgemeinern wir die zugehörige Methode auf gewichtete totale Variationsnormen. Dies ermöglicht uns den Beweis eines sehr allgemeinen Eindeutigkeitsbeweises schwacher Lösungen, für das wir lediglich Messbarkeit der Koeffizienten, eine lokale Intergrabilität des Driftkoeffizienten sowie eine Nicht-Degeneriertheitsannahme des Dispersionskoeffizienten annehmen müssen. Wir beweisen auch ein abstraktes Resultat für die Existenz schwacher Lösungen von verteilungsabhängigen stochastischen Differenzialgleichungen mit lediglich messbaren Koeffizienten, das auf der Approximation durch reguläre Lösungen unter Lyapunovbedingungen beruht. Dieses Ergebnis ist in Zusammenarbeit mit Wilhelm Stannat entstanden.