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The stochastic Fisher-KPP equation with seed bank and on/off branching coalescing Brownian motion

Nie, Florian

This dissertation establishes a continuous-space version of the recently introduced Wright Fisher diffusion with seed bank and investigates its properties regarding the existence of particle system approximations, the compact interface property and the existence of travelling waves and their speed. We introduce in the first chapter a seed bank component into the well-known continuum stepping stone model turning it into a two component stochastic partial differential equation (SPDE). We show weak existence for a large class of two component SPDEs and that our model belongs to this class. The model admits a moment duality with an interacting system of "on/off" branching coalescing Brownian motions (with death), enabling us to obtain uniqueness in law. This particle system differs from the classical branching coalescing Brownian motion by allowing motion and birth/death/coalescence events to be switched off for an exponential amount of time. Finally, we insert dormancy into a long range voter model which allows voters to retreat into a seed bank, resembling the metabolically inactive behaviour of microbial species. Our model then arises as the hydrodynamic limit of the empirical measures describing this discrete system. In the next chapter, we consider a special case of our model without mutation and selection - the so called stochastic Heat Equation with seed bank - allowing us to focus on noise and dormancy. Remarkably, the compact interface property of the classical model without seed bank still holds true despite the addition of new qualitative behaviour, such as monotonically increasing interfaces for the dormant component. In the last chapter, we remove noise and mutation and turn to the deterministic F-KPP Equation with seed bank. Here, we investigate the impact of dormancy on the existence of travelling wave solutions and their speed of propagation. We use the theory of additive and multiplicative martingales to establish the existence of travelling waves and to obtain the exact critical wave speed of the system. We also broaden our modelling approach by considering a closely related "spore model". This model differs from the previous case by shifting spatial movement into the dormant population mimicking the behaviour of fungi and other plants, where the active individuals remain static and the dormant individuals disperse in space in the form of spores. We also establish the existence of travelling waves and their exact propagation speeds in this case. Finally, we simulate and compare the wave speeds of the classical, the seed bank and the spore model to quantify the impact of dormancy.
In dieser Arbeit führen wir eine raumstetige Version des Wright Fischer Modells mit „Seed bank“ ein und untersuchen dieses bzgl. der Existenz einer Partikelapproximation, der „Compact Interface Property“ und der Existenz von Wanderwellenlösungen und ihrer Geschwindigkeit. Wir beginnen im ersten Kapitel mit einer Erweiterung des „Continuum Stepping Stone“- Modells durch das Hinzufügen einer weiteren Gleichung zu der zugrundeliegenden stochastischen partiellen Differentialgleichung (SPDE), welche wir als „Seed bank“ interpretieren. Wir zeigen zunächst Existenz für eine größere Klasse von SPDEs und anschließend die Zugehörigkeit unseres Modells zu dieser Klasse. Als nächstes widmen wir uns einem „on/off“ System von verschmelzenden und verzweigenden Brownschen Bewegungen, welches sich von dem klassischen System dadurch unterscheidet, dass es jedem Teilchen (unabhängig voneinander) erlaubt, Bewegung und Todes-/Geburts-/Verschmelzungsmechanismen für eine exponentiell verteilte Zeit auszuschalten. Wir zeigen, dass dieses Partikelsystem durch eine sogenannte Momenten-Dualität mit unserem Modell verbunden ist, welche uns erlaubt die schwache Eindeutigkeit unserer Lösungen zu folgern. Danach betrachten wir ein „Long Range Voter Model“, in welches wir ebenfalls einen „Seed bank“-Mechanismus einbauen und aus welchem das SPDE Modell als hydrodynamischer Limes hervorgeht. Dieser Mechanismus imitiert das metabolisch inaktive Verhalten von Mikroorganismen. Im nächsten Kapitel betrachten wir einen Spezialfall unseres SPDE Modells ohne Mutation und Selektion, welches uns eine isolierte Untersuchung von stochastischem Rauschen und „Seed bank“ ermöglicht. Wir zeigen, dass eine bemerkenswerte Eigenschaft des Systems ohne dormante Komponente, die sogennante „Compact Interface Property“, im Fall mit Dormanz erhalten bleibt, obwohl das „Interface“ der dormanten Komponente einige neue Eigenschaften, wie ein monoton wachsendes „Interface“, aufweist. Im letzten Kapitel wenden wir uns dann dem Spezialfall ohne stochastischem Rauschen und Mutation - der deterministische F-KPP Gleichung mit „Seed bank“ - zu. Durch die Verwendung von additiven und multiplikativen Martingalen sind wir in der Lage, die Existenz von Wanderwellenlösungen zu beweisen und deren exakte Ausbreitungsgeschwindigkeit zu bestimmen. Des Weiteren führen wir auch ein neues „Sporenmodell“ ein. Dieses Modell unterscheidet sich vom klassischen Modell dadurch, dass wir Migration von der aktiven Bevölkerung in die dormante Bevölkerung verschieben. Dies soll das Verhalten einiger Pilz- und Pflanzenarten modellieren, bei denen die aktive Bevölkerung statisch bleibt und die dormante Bevölkerung sich in Form von Sporen räumlich ausbreitet. Für diesen Fall können wir ebenfalls die Existenz von Wanderwellenlösungen beweisen und ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit bestimmen. Zum Schluss simulieren und vergleichen wir die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellen im klassischen F-KPP Fall mit dem „Seed bank“- und dem Sporenmodell, um den Einfluss der „Seed bank“ besser quantifizieren zu können.