The Laplace method for singular stochastic PDEs

dc.contributor.advisorFriz, Peter Karl
dc.contributor.authorKlose, Tom Heinz
dc.contributor.grantorTechnische Universität Berlin
dc.contributor.refereeFriz, Peter Karl
dc.contributor.refereeZambotti, Lorenzo
dc.contributor.refereeChevyrev, Ilya
dc.date.accepted2022-07-05
dc.date.accessioned2022-12-20T13:10:59Z
dc.date.available2022-12-20T13:10:59Z
dc.date.issued2022
dc.description.abstractIn this thesis, we implement a Laplace method for the renormalised solution to the generalised 2D Parabolic Anderson Model (gPAM) driven by a small spatial white noise. This model is a prime example of a singular stochastic partial differential equation (PDE) that can be solved via Hairer’s theory of regularity structure, the theoretical underpinning of our work. In this setting, we generalise classical ideas of Azencott and Ben Arous on path space as well as Aida and Inahama and Kawabi on rough path space to the space of models. The technical cornerstone of our argument is a Taylor expansion of the solution in the noise intensity parameter, a result that is of independent interest. In particular, we establish precise bounds for the terms and the remainder in the expansion and use them to estimate asymptotically irrevelant terms to arbitrary order. This leads to the first main contribution of the thesis at hand, an asymptotic expansion in powers of the noise intensity for Laplace functionals applied to the solution of gPAM. In particular, we recover the classical large deviation factor since our expansion provides much finer information on the asymptotic behaviour of said functionals than on the logarithmic scale. We then show that the constant coefficient in the expansion can be represented in terms of traces and Carleman-Fredholm determinants of certain explicit operators, the second main result presented in this thesis. Our reasoning is based on the fact that the minimiser of the extended phase functional of gPAM has better than just Cameron-Martin regularity. This result is combined with classical analysis in abstract Wiener spaces but may prove useful in other contexts as well. Most of the arguments in this thesis are not specific to gPAM and can be generalised to cover other singular stochastic PDEs within the regularity structures framework. However, some generalisations do pose technical challenges in which case we outline how to overcome them. Finally, we present some ideas how our results connect to other problems and how the assumptions they are based upon may be relaxed in future work.en
dc.description.abstractIn dieser Arbeit implementieren wir eine Laplace-Methode für die renormierte Lösung des verallgemeinerten Parabolischen Anderson-Modells (gPAM) in zwei Dimensionen, welches von einem räumlichen Weißen Rauschen mit kleiner Intensität angetrieben wird. Dieses Modell ist eines der einfachsten Beispiele einer singulären stochastischen partiellen Differentialgleichung (PDG), die mit Hairers Theorie der Regularitätsstrukturen gelöst werden kann. Diese bildet die theoretische Grundlage der vorliegenden Arbeit. Darauf aufbauend verallgemeinern wir klassische Ideen von Azencott und Ben Arous für den Pfadraum und von Aida und Inahama und Kawabi für den Raum rauer Pfade auf den Raum der Modelle. Das technische Fundament unseres Arguments ist eine Taylor-Entwicklung der Lösung in dem Parameter, welcher die Intensität des Rauschen moduliert. Dieses Resultat ist auch von unabhängigem Interesse. Dabei beweisen wir präzise Abschätzungen für die Terme und das Restglied in der Entwicklung und nutzen diese, um asymptotisch vernachlässigbare Terme beliebiger Ordnung abzuschätzen. Insgesamt leiten wir daraus den ersten großen Beitrag ab, den die vorliegende Arbeit liefert: Eine asymptotische Entwicklung für Laplace-Funktionale der Lösung von gPAM in Potenzen des Intensitätsparameters. Auf einer logarithmischen Skala ergibt sich daraus insbesondere der Faktor, welcher aus der klassischen Theorie der großen Abweichungen bekannt ist. Das liegt darin begründet, dass unsere Entwicklung viel genauere Informationen über das asymptotische Verhalten der vorher genannten Funktionale beinhaltet. Anschließend zeigen wir, dass der konstante Koeffizient in der von uns gewonnenen Entwicklung mittels Spuren und Carleman-Fredholm-Determinanten gewisser expliziter Operatoren dargestellt werden kann. Das ist das zweite Hauptresultat der vorliegenden Arbeit. Unsere Argumentation basiert auf der Tatsache, dass der Minimierer des erweiterten Phasenfunktionals von gPAM bessere Regularität hat als jene im Cameron-Martin-Raum. Dieses Resultat kombinieren wir mit klassischer Analysis auf abstrakten Wiener-Räumen, aber es kann sich auch in anderen Kontexten als diesem als nützlich erweisen. Der Großteil der Argumente in dieser Arbeit ist nicht nur auf gPAM anwendbar, sondern kann auch auf andere singuläre stochastische PDG verallgemeinert werden, welche man mit Regularitätsstruk- turen analysieren kann. Jedoch gibt es einige Argumente, deren Verallgemeinerung tatsächlich zu technischen Schwierigkeiten führt. In diesem Fall skizzieren wir, wie man diese überwinden kann. Zum Schluss präsentieren wir einige Ideen, in welcher Beziehung die Resultate dieser Arbeit zu anderen mathematischen Problemen stehen und wie man die Annahmen, die ihnen zugrunde liegen, in zukünftigen Arbeiten abschwächen kann.de
dc.description.sponsorshipEC/H2020/683164/EU/Geometric aspects in pathwise stochastic analysis and related topics/GPSART
dc.description.sponsorshipDFG, 410208580, GRK 2544: Stochastic Analysis in Interaction
dc.identifier.urihttps://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/17853
dc.identifier.urihttps://doi.org/10.14279/depositonce-16642
dc.language.isoen
dc.relation.haspart10.1016/j.jfa.2022.109446
dc.relation.haspart10.14279/depositonce-16701
dc.rights.urihttps://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
dc.subject.ddc519 Wahrscheinlichkeiten, angewandte Mathematikde
dc.subject.ddc515 Analysisde
dc.subject.otherregularity structuresen
dc.subject.otherLaplace methoden
dc.subject.otherlarge deviationsen
dc.subject.othergeneralised parabolic Anderson modelen
dc.subject.othersingular stochastic PDEsen
dc.titleThe Laplace method for singular stochastic PDEsen
dc.title.translatedDie Laplace-Methode für singuläre stochastische partielle Differentialgleichungende
dc.typeDoctoral Thesis
dc.type.versionacceptedVersion
dcterms.rightsHolder.referenceDeposit-Lizenz (Erstveröffentlichung)
tub.accessrights.dnbfree
tub.affiliationFak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften::Inst. Mathematik::FG Finanz- und Versicherungsmathematikde
tub.affiliation.facultyFak. 2 Mathematik und Naturwissenschaftende
tub.affiliation.groupFG Finanz- und Versicherungsmathematikde
tub.affiliation.instituteInst. Mathematikde
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