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On the zeros of harmonic mappings: analysis, computation and application
Zur, Jan
In this doctoral thesis, we consider the zeros of harmonic mappings in the complex plane. Our study was originally motivated by the theory of gravitational lensing in astrophysics, where special cases of such functions and their zeros play an important role. However, in this work we focus on much more general functions. Our results range from purely analytical to numerical aspects. We sharpen bounds previously published by other authors on the number of zeros of rational harmonic functions and harmonic polynomials. Moreover, we develop the first numerical continuation method that is guaranteed to find all zeros of a (non-singular and non-degenerate) harmonic mapping 𝑓. Our method works without any prior knowledge about the number or the position of the zeros. Numerical experiments indicate that our method is extremely fast and highly accurate. The foundation of both our analytical and our numerical results is an extensive study of how the number of solutions of 𝑓(𝑧) = 𝜂 changes as the parameter 𝜂 ∈ ℂ varies. For this purpose, we use mathematical tools from very different areas, such as the argument principle for harmonic mappings or convergence results of Newton's method in Banach spaces. As it turns out, the position of 𝜂 with respect to the caustics of 𝑓 is crucial for determining the number of solutions of 𝑓(𝑧) = 𝜂. We formalize this observation by providing a complete theory that is of its own interest, and a starting point to further advance the understanding of harmonic mappings in the future.
In dieser Dissertationsschrift betrachten wir die Nullstellen harmonischer Funktionen in der komplexen Zahlenebene. Unsere Untersuchungen sind ursprünglich durch den Gravitationslinseneffekt in der Astrophysik motiviert, wo Spezialfälle harmonischer Funktionen und ihrer Nullstellen eine wichtige Rolle spielen. Wir konzentrieren uns in dieser Arbeit jedoch auf viel allgemeinere Funktionen. Unsere Ergebnisse sind sowohl von rein analytischer als auch numerischer Natur. Für rationale harmonische Funktionen und harmonische Polynome verbessern wir bekannte Resultate über die Anzahl der Nullstellen. Außerdem entwickeln wir das erste numerische Fortsetzungsverfahren, welches garantiert alle Nullstellen einer (nicht-singulären und nicht-degenerierten) harmonischen Funktion 𝑓 berechnet. Dieses Verfahren funktioniert ohne jegliche Vorkenntnisse über die Anzahl oder die Position der Nullstellen. Unsere numerischen Experimente unterstreichen außerdem die hohe Geschwindigkeit und große Genauigkeit. Grundlage für unsere analytischen und numerischen Ergebnisse ist eine umfassende Untersuchung darüber, wie sich die Anzahl der Lösungen von 𝑓(𝑧) = 𝜂 mit dem Parameter 𝜂 ∈ ℂ verändert. Zu diesem Zweck verwenden wir Hilfsmittel aus ganz verschiedenen Bereichen der Mathematik, wie z.B. das Argumentenprinzip für harmonische Funktionen oder Konvergenzergebnisse für das Newton-Verfahren in Banach-Räumen. Wie sich herausstellt, ist die Position von 𝜂 bezüglich der Kaustiken von 𝑓 entscheidend zur Bestimmung der Anzahl der Lösungen von 𝑓(𝑧) = 𝜂. Wir formalisieren diese Beobachtung und vervollständigen sie zu einer allgemeinen Theorie. Diese ist von eigenständigem Interesse und kann genutzt werden, um das Verständnis von harmonischen Funktionen zukünftig weiter zu verbessern.
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