An extended modal approach for nonlinear aeroelastic simulations of highly flexible aircraft structures
Ritter, Markus Raimund
Some classes of aircraft are characterized by highly flexible wings undergoing large structural deformations in steady and maneuvering flight. In most cases this flexibility is the result of a high aspect ratio, which is in turn forced by dedicated design criteria such as the reduction of the induced drag. Prominent examples for such configurations are High Altitude Long Endurance (HALE) aircraft as well as modern, high performance sailplanes of the Open Class. The design and the analysis of highly flexible aircraft put high demands on the methods and tools employed. Multidisciplinary analysis taking into account aerodynamics, flight mechanics, and structural dynamics is indispensable where nonlinearities due to large rigid-body motions and large structural deflections are inherent in each of these disciplines.
For the structural part, only few methods exist to date for the calculation of general aircraft structures subjected to large deformations. Commercial finite element solvers are mostly limited to clamped structures in their nonlinear solution capabilities, i.e. concurrent rigid-body motions are inadmissible. On the other hand, sophisticated methods incorporating nonlinear rigid-body as well as nonlinear elastic motions have been developed mainly for beam-type structures but not for complex and three-dimensional models.
In aeroelasticity, the modal approach is a well-established and elegant method for simulating and analyzing the dynamic behavior of aircraft structures. However, its applicability is limited to small structural deformations and an extension into the nonlinear regime with respect to large geometric deflections would be desirable.
The goal of this thesis is thus the extension of the modal approach towards large geometric deformations of highly flexible aircraft structures. The extensions include stiffness terms of higher order as well as higher-order modal components for the calculation of the nonlinear displacement field. It is shown that the method is applicable to different kinds of structural models composed of beam and shell elements with anisotropic material properties. Furthermore, an integrated set of equations based on these extensions is presented that allows the nonlinear time-domain simulation of the free-flying elastic aircraft in steady and unsteady maneuvering flight with large structural deformations.
In the first part of the thesis, the two extensions are presented in detail. The linear relationship between load and structural displacements given in the classical modal approach is extended by generalized stiffness terms that depend quadratically and cubically on the generalized coordinates. The higher-order stiffness terms are derived by a series expansion of the strain energy of the structure which is formulated as a nonlinear function of deformation. The linear transformation between modal and Euclidean space by the eigenvectors of the structure is extended by higher (second-, third-, and fourth-) order mode components to approximate the geometrically nonlinear displacement field. The higher-order stiffness and mode components of the structure are determined in a preprocessing step where a series of nonlinear static solutions are generated using a commercial finite element solver. Higher-order polynomials are fitted to the solutions, the polynomial coefficients then correspond to the higher-order components.
The second part introduces the extensions described above into the governing equations of motion of the free-flying elastic aircraft. The governing equations are derived using Lagrange's equations of the second kind where particular attention is paid to admit as few assumptions as possible. One widely applied assumption in aeroelastic analysis of free-flying aircraft is the mean axes condition to inertially decouple rigid-body and elastic degrees of freedom. This assumption requires the frequencies of the typical rigid-body and elastic modes of the aircraft to be largely separated and is limited to small structural deformations. By contrast, flight dynamics of highly flexible aircraft is characterized by strong inertial coupling between flight mechanic and elastic degrees of freedom due to low structural frequencies. Consequently, the governing equations derived in this thesis consider inertial coupling between rigid-body and elastic motions.
The third part presents applications of the method to three different test cases with increasing complexity. First, the basics of the method are outlined by a simple beam structural model in static structural response. The second test case is a slender wing box represented by a full 3D finite element model with anisotropic materials. The third test case is the very flexible X-HALE unmanned aerial vehicle from the University of Michigan. Static structural and aeroelastic responses as well as free-flight maneuver simulations with unsteady excitation of the aircraft by gust and tail inputs demonstrate further capabilities and the limits of the method.
Einige Flugzeugkonfigurationen sind durch hochflexible Tragflügel, die zu großen strukturellen Deformationen in stationären und beschleunigten Flugzuständen führen, gekennzeichnet. In den meisten Fällen ist diese Flexibilität das Resultat einer hohen Streckung, die wiederum durch bestimmte Auslegungskriterien vorgegeben wird, wie beispielsweise die Reduzierung des induzierten Widerstandes. Bekannte Beispiele für derartige Konfigurationen sind High Altitude Long Endurance Flugzeuge sowie moderne Hochleistungssegelflugzeuge der offenen Klasse.
Die Auslegung und Analyse dieser hochflexiblen Flugzeuge stellen hohe Anforderungen an die verwendeten Methoden und Programme. So sind multidisziplinäre Analysen mit Berücksichtigung der Aerodynamik, Flugmechanik und Strukturdynamik unabdingbar. Hierbei sind Nichtlinearitäten aufgrund großer Starrkörperbewegungen und großer eleastischer Deformationen inhärent in jeder der Disziplinen.
Für die Strukturdynamik stehen gegenwärtig allerdings nur wenige Methoden zur Berechnung großer Deformationen allgemeiner Strukturen zur Verfügung. Kommerzielle Finite-Elemente-Programme können nichtlineare Analysen meist nur für eingespannte Systeme durchführen, d. h. gleichzeitige Starrkörperbewegungen sind unzulässig. Andererseits sind Methoden, die nichtlineare Starrkörper- und elastische Bewegungen berücksichtigen, fast ausschließlich für balkenartige Strukturen und nicht für komplexe Modelle entwickelt worden.
Der Modalansatz stellt für die Aeroelastik eine etablierte und elegante Methode zur Simulation und Analyse des dynamischen Verhaltens von Flugzeugstrukturen dar. Seine Anwendbarkeit ist allerdings auf kleine strukturelle Deformationen beschränkt. Eine Erweiterung in den nichtlinearen Bereich bezüglich großer Deformationen wäre daher wünschenswert.
In Folge dessen ist das Ziel dieser Arbeit die Erweiterung des Modalansatzes zur Berücksichtigung großer Deformationen von hochflexiblen Flugzeugstrukturen. Eine Erweiterung sind generalisierte Steifigkeitsterme höherer Ordnung, eine andere sind Modekomponenten höherer Ordnung zur Berechnung des nichtlinearen Verschiebungsfeldes. Es wird gezeigt, dass die Methode auf verschiedene Arten von Strukturmodellen bestehend aus Balken- und Schalenelementen mit anisotropen Materialeigenschaften anwendbar ist. Weiterhin wird ein Satz an Gleichungen vorgestellt, der die nichtlineare Simulation von stationären und instationären Manövern des freifliegenden elastischen Flugzeuges mit großen strukturellen Deformationen im Zeitbereich ermöglicht.
Im ersten Teil der vorliegenden Arbeit werden die zwei Erweiterungen ausführlich erläutert. Die dem klassischen Modalansatz zugrunde liegende lineare Beziehung zwischen Last und struktureller Verformung wird um generalisierte Steifigkeitsterme erweitert, die quadratisch und kubisch von den generalisierten Koordinaten abhängen. Die Steifigkeitsterme höherer Ordnung werden von einer Reihenentwicklung der Dehnungsenergie abgeleitet, welche als nichtlineare Funktion der Deformationen formuliert ist. Die lineare Abbildung zwischen modalem und euklidischem Raum mittels der strukturellen Eigenvektoren wird um Modekomponenten höherer (zweiter, dritter, vierter) Ordnung zur Approximation des geometrisch nichtlinearen Veschiebungsfeldes erweitert. Die genannten Steifigkeits- und Modekomponenten höherer Ordnung des Strukturmodells werden im Preprocessing mittels einer Serie von statischen, geometrisch nichtlinearen Lösungen, die mit einem kommerziellen Finite-Elemente-Programm erzeugt werden, bestimmt. Schließlich werden diese Lösungen durch Polynome höherer Ordnung approximiert; die Polynomkoeffizienten entsprechen folglich den Steifigkeits- und Modekomponenten höherer Ordnung.
Im zweiten Teil werden die genannten Erweiterungen in die Bewegungsgleichungen des freifliegenden elastischen Flugzeuges übernommen, welche mit den Lagrangeschen Gleichungen zweiter Art hergeleitet werden. Hierbei sollen so wenig Annahmen wie möglich eingeräumt werden. Für aeroelastische Analysen freifliegender Flugzeuge weit verbreitet ist die \textit{mean axes} Annahme zur Entkopplung von Starrkörper- und elastischer Bewegung durch Vernachlässigung bestimmter Inertiallasten. Diese Annahme bedingt einen großen Frequenzabstand von flugmechanischen und elastischen Eigenbewegungsformen und ist auf kleine strukturelle Deformationen limitiert. Im Gegensatz dazu ist das flugdynamische Verhalten hochflexibler Flugzeuge charakterisiert durch ausgeprägte Kopplungen von Starrkörper- und elastischen Freiheitsgraden, die durch niederfrequente strukturelle Moden hervorgerufen werden. Aus diesem Grund beinhalten die in dieser Arbeit hergeleiteten Bewegungsgleichungen Kopplungen durch Inertiallasten.
Im dritten Teil werden Anwendungen der entwickelten Methode auf drei Testfälle mit steigender Komplexität vorgestellt. Zuerst werden die grundlegenden Eigenschaften der Methode anhand eines statisch belasteten, einfachen Balkenmodells dargestellt. Der zweite Testfall ist ein hochgestreckter Flügelkasten, modelliert als dreidimensionales Finite-Elemente-Modell mit anisotropen Materialien. Der dritte Testfall ist das hochflexible X-HALE UAV der University of Michigan. Statische strukturelle und aeroelastische Simulationen sowie Freiflugmanöver mit instationärer Anregung durch Böen und Höhenrudereingaben demonstrieren letztendlich weitere Fähigkeiten und die Grenzen der Methode.
