Yserentant, HarryScholz, Stephan2016-04-012016-04-012016https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/5393http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-5068The electronic Schrödinger equation is one of the most important equations in quantum mechanics and provides an explanation of the behaviour of atoms and molecules. The solutions of the eigenvalue problem - the wave functions - describe the state of the modelled quantum mechanic system and can be computed analytically in only a few simple cases. The high dimensionality of the problem is one of the difficulties in the approximation of a solution. Therefore a direct discretization is nearly impossible. We present a possible way out in this thesis. To this end we examine a substitute problem instead of the original equation. The substitute equation is constructed from an approximation of a restatement of the Schrödinger equation with the help of exponential sums. The error between the solution of the substitute problem and the original wave function can be chosen arbitrarily small by the special construction. Now we can focus on the substitute equation. We show that its solutions can be approximated theoretically by a linear combination of Gaussian functions. At the same time the effort is only marginally bigger than that of the approximation of the convolution of the wave function and a Gaussian kernel of sufficient width in this class of functions. Every convergence order is reachable in theory. The results of this thesis can be utilized for the precise analysis of the perturbed preconditioned inverse iteration which is an iteration method for the solution of eigenvalue problems. It will be shown that after a derivation of the variant of the Schrödinger equation the iteration can completely operate on Gaussian functions. The hope in doing so is to show that the singularities can be dissolved adequately by this nonlinear ansatz.Die elektronische Schrödinger-Gleichung ist eine der wichtigsten Gleichungen der Quantenmechanik und gibt Aufschluss über das Verhalten von Atomen und Molekülen. Die Lösungen dieses Eigenwertproblems, die Wellenfunktionen, beschreiben den Zustand des modellierten quantenmechanischen Systems und lassen sich nur in einfachen Fällen analytisch berechnen. Eine der Schwierigkeiten bei der Approximation einer Lösung besteht in der Hochdimensionalität des Problems und macht eine direkte Diskretisierung nahezu unmöglich. In dieser Arbeit präsentieren wir einen möglichen Ausweg. Dazu untersuchen wir statt der ursprünglichen Gleichung ein Ersatzproblem, welches wir durch eine Approximation mit Hilfe von Exponentialsummen aus einer Umformulierung der Schrödinger-Gleichung erhalten. Durch die spezielle Konstruktion kann der Fehler zwischen der Lösung des Ersatzproblems und den eigentlichen Wellenfunktionen beliebig klein gewählt werden, so dass es ausreicht, sich auf das Ersatzproblem zu konzentrieren. Wir zeigen, dass sich dessen Lösungen in der Theorie beliebig gut durch Linearkombinationen von Gauß-Funktionen approximieren lassen. Der Aufwand ist dabei nur geringfügig größer als bei der Approximation der Faltung der Wellenfunktion mit einen hinreichend schmalen Gauß-Kern in jener Funktionenklasse. Theoretisch ist jede Konvergenzordnung erreichbar. Die Ergebnisse der Arbeit lassen sich nutzen, um ein Iterationsverfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen genauer zu untersuchen: die gestörte vorkonditionierte inverse Iteration. Nach der Herleitung der Variante für die Schrödinger-Gleichung zeigt sich, dass die Iteration komplett auf dem Raum der Gauß-Funktionen operieren kann. Die Hoffnung besteht nun darin, dass sich durch diesen nichtlinearen Ansatz die Singularitäten gut auflösen lassen.de518 Numerische AnalysisSchrödinger-GleichungWellenfunktionenApproximation durch ExponentialsummenGauß-Hermite-FunktionenSchrödinger equationwave functionsapproximation by exponential sumsGauss-Hermite functionsDoctoral Thesis