Scheutzow, MichaelFehringer, Franz2015-11-202001-10-152001-10-152001-10-15urn:nbn:de:kobv:83-opus-1924https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/587http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-290Es sei $gamma$ ein Gaußmaß auf der Borelschen $sigma$-Algebra $mathcal B$ des separablen Banachraums $B$. Für $X:Omega o B$ gelte $P_X=gamma$. Wir untersuchen den mittleren Fehler, der bei Kodierung von $gamma$ respektive $X$ mit $Ninmathbb N$ Punkten entsteht, und bestimmen untere und obere Abschätzungen für die Asymptotik ($N oinfty$) dieses Fehlers. Hierbei betrachten wir zu $r>0$ Gütekriterien wie folgt: Deterministische Kodierung $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N}X-y_k^r.$ Zufällige Kodierung $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N}X-Y_k^r.$ Die $(Y_k)$ seien hierbei i.i.d., unabhängig von $X$, und nach $ u$ verteilt. Das Infimum wird über alle Wahrscheinlichkeitsmaße $ u$ gebildet. Für das Gütekriterium $delta_4(cdot,r)$ wird ausgehend von der Definition von $delta_3(cdot,r)$ $ u$ nicht optimal, sondern $ u=gamma$ gewählt. Das Gütekriterium $delta_1(cdot,r)$ ergibt sich aus der Quellkodierungstheorie nach Shannon. Es gilt $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ Wir stellen folgenden Zusammenhang zwischen der Asymptotik von $delta_4(cdot,r)$ und den logarithmischen kleinen Abweichungen von $gamma$ her: Es gebe $kappa,a>0$ und $binR$ mit $psi(varepsilon) := -log P{X<varepsilon} sim kappa(frac1varepsilon)^a(logfrac1varepsilon)^b, varepsilondownarrow 0.$ Dann gilt $frac{sqrt{2^r}kappa^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}} simle delta_4(N,r) simle frac{2^r(2kappa)^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}}, N oinfty.$ Für das Wienermaß in $L_2[0,1]$ ist die Asymptotik von $delta_1(N,2)$ schon länger bekannt, es gilt $frac2{pi^2log N} sim delta_1(N,2) le delta_2(N,2) le delta_3(N,2) le delta_4(N,2) simle frac1{log N},q N oinfty$ und damit $limsup_{N oinfty}frac{delta_4(N,2)}{delta_1(N,2)} ge frac{pi^2}8>1$.Let $gamma$ be a Gaussian measure on the Borel $sigma$-algebra $mathcal B$ of the separable Banach space $B$. Let $X:Omega o B$ with $P_X=gamma$. We investigate the average error in coding $gamma$ resp. $X$ with $Ninmathbb N$ points and obtain lower and upper bounds for the error asymptotics ($N oinfty$). We consider, given $r>0$, fidelity criterions as follows: Deterministic Coding $delta_2(N,r) := inf_{y_1,ldots,y_Nin B}Emin_{k=1,ldots,N}X-y_k^r.$ Random Coding $delta_3(N,r) := inf_ u Emin_{k=1,ldots,N}X-Y_k^r.$ The $(Y_k)$ above are i.i.d., independent of $X$, and distributed according to $ u$. The infimum is taken with respect to all probability measures $ u$. For the fidelity criterion $delta_4(cdot,r)$, starting from the definition of $delta_3(cdot,r)$, $ u$ is not chosen optimal, but as $ u=gamma$. The fidelity criterion $delta_1(cdot,r)$ is given according to the source coding theory of Shannon. The fidelity criterions are connected through $delta_1(cdot,r) le delta_2(cdot,r) le delta_3(cdot,r) le delta_4(cdot,r).$ We obtain the following connection between the asymptotics of $delta_4(cdot,r)$ and the den logarithmic small deviations of $gamma$: Let $kappa,a>0$ and $binR$ with $psi(varepsilon) := -log P{X<varepsilon} sim kappa(frac1varepsilon)^a(logfrac1varepsilon)^b, varepsilondownarrow 0.$ Then the twosided asymptotic inequality $frac{sqrt{2^r}kappa^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}} simle delta_4(N,r) simle frac{2^r(2kappa)^{frac ra}(loglog N)^{frac{br}a}} {a^{frac{br}a}(log N)^{frac ra}}, N oinfty$ holds. For Wiener measure in $L_2[0,1]$, the asymptotics of $delta_1(N,2)$ is well known: $frac2{pi^2log N}simdelta_1(N,2) le delta_2(N,2) le delta_3(N,2) le delta_4(N,2) simle frac1{log N},q N oinfty$ We conclude $limsup_{N oinfty}frac{delta_4(N,2)}{delta_1(N,2)} ge frac{pi^2}8>1$.de510 MathematikGaußmaßekleine AbweichungenQuellkodierungVektorquantisierungBorellsche UngleichungGaussian measuressmall ballssource codingvector quantizationBorell inequalityDoctoral Thesis