Evans, MyfanwySullivan, JohnKolbe, Benedikt Maximilian2020-09-022020-09-022020https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/11587http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-10476In this thesis we introduce a theory of isotopy classes of tilings with given symmetry group on hyperbolic surfaces, possibly punctured, nonorientable, and with boundary. We first generalise combinatorial tiling theory to incorporate tilings with tiles that are not closed disks. To establish a combinatorial theory for isotopy classes of tilings, based on Delaney-Dress tiling theory, we subsequently introduce the notion of mapping class groups for general orbifolds, and use this to find a complete enumeration of symmetrically embedded graphs on hyperbolic surfaces, up to isotopy. We further answer some open questions relating to the EPINET project, which enumerates structures in R3 through embeddings of graphs on triply periodic minimal surfaces. In particular, we prove that there are infinitely many topological types of nets in R3 that arise from different isotopy classes of the same graph on a hyperbolic surface of finite topology that gives rise to a triply periodic surface. We moreover derive new presentations of mapping class groups and investigate aspects of computational group theory used in the enumerative process. To illustrate our approach and results, we present a catalogue of 3-periodic structures that reticulate the gyroid, primitive, and diamond triply periodic minimal surfaces in R3. Furthermore, we introduce an automated way to produce these structures, and develop an algorithm that finds their topological types from their presentation as hyperbolic tilings.In dieser Arbeit beschreiben wir eine Theorie von Isotopieklassen von Tesselierungen auf hyperbolischen Flächen mit einer gegebenen Wirkung von einer Gruppe von Symmetrien. Die Flächen können berandet, punktiert, oder nicht orientierbar sein. Zunächst verallgemeinern wir kombinatorische Tesselierungstheorie um Tesselierungen mit Kacheln zu behandeln, die nicht topologisch äquivalent zu einer geschlossenen Scheibe sind. Um eine Theorie von Isotopieklassen von Tesselierungen zu entwickeln, führen wir die Abbildungsklassengruppe ein für Orbifaltigkeiten. Dies benutzen wir, um eine Aufzählung von symmetrischen Einbettungen von Graphen auf hyperbolischen Flächen bis auf Isotopie zu erhalten. Weiterhin beantworten wir einige offene Fragen in diesem Zusammenhang mit dem EPINET Projekt, welches Strukturen in R3 zählt, die durch Graphen auf dreifach-periodischen Minimalflächen entstehen. Inbesondere beweisen wir, dass es unendlich viele topologische Klassen von periodischen Netzen in R3 gibt, die verschiedenen Isotopieklassen des gleichen Graphen auf der zugrundelegenden hyperbolischen Fläche entsprechen. Des Weiteren leiten wir neue Darstellungen von Abbildungsklassengruppen her und untersuchen in diesem Zusammenhang Aspekte der Berechenbarkeitstheorie von Gruppen, die bei der Aufzählung der Isotopieklassen Anwendung finden. Zur Veranschaulichung unserer Resultate, präsentieren wir eine Reihe von dreifach-periodischen Strukturen, die auf den Gyroid, die Diamantfläche und die primitive Fläche passen. Ergänzend stellen wir einen Algorithmus vor, der, ausgehend von den hyperbolischen Tesselierungen, die topologische Struktur solcher dreifach-periodischen Netze findet.en516 Geometrieisotopic tiling theorymapping class grouporbifoldstriply-periodic minimal surfacehyperbolic tilingsAbbildungsklassengruppeOrbifaltigkeitdreifach-periodische Minimalflächenhyperbolische TessellierungenDoctoral Thesis