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Random motions in random media is an interesting topic that has been studied intensively since several decades. Although these models are relatively simple mathematical objects, they have a wide variety of interesting properties from the theoretical point of view.
In this dissertation, we study an important branch within this topic, namely
reversible random walks moving among nearest neighbour random conductances on $\mathbb{Z}^d$ --
the random conductance model. Reversibility provides the model a variety of interesting connections with other fields in mathematics, for instance, percolation theory, $\nabla\phi$-interface models,
and especially stochastic homogenization. Many questions coming from this model have been answered by techniques from partial differential equations and harmonic analysis.
As seen in the name of the thesis, we would like to consider this model under ''degenerate conditions''.
Here, ''degenerate'' has essentially two meanings. First, the conductances are not assumed
to be bounded from above and below and
stochastically independent. Second, we also consider the case of zero conductances, where the random walk can only move on a subgraph of $\mathbb{Z}^d$.
Since there are percolation clusters, where the existence of the infinite cluster does not rely on stochastic independence, it is reasonable to accept the lack of stochastic independence.
In Chapter 2 we study quenched invariance principles. We assume that the positive conductances have some certain moment bounds, however, not bounded from above and below, and give rise to a unique infinite cluster and prove a quenched invariance principle for the continuous-time random walk among random conductances under relatively mild conditions on the structure of the infinite cluster. An essential ingredient of our proof is a new anchored relative isoperimetric inequality.
In Chapter 3 we study Liouville principles. As in Chapter 2, we also assume some moment bounds and prove a first order Liouville property for this model. Using the
corrector method introduced by Papanicolaou and Varadhan, Chapters 2 and 3 are closely related to each other at the technical level. Chapter 4 proves a discrete analogue of the Dirichlet-to-Neumann estimate, which compares the tangential and normal derivatives of a harmonic function on the boundary of a domain. This result is used in Chapter 3
and perhaps useful for numerical analysis.
Zufällige Bewegungen in zufälligen Medien ist ein interessantes Thema, das seit mehreren Jahrzehnten intensiv studiert wird. Obwohl diese Modelle relativ einfache mathematische Objekte sind, haben sie aus theoretischer Sicht eine Vielzahl von interessanten Eigenschaften.
In dieser Dissertation betrachten wir einen wichtigen Zweig in diesem Thema, nämlich das zufällige Leitfähigkeitsmodell (engl. random conductance model). Es konzentriert sich auf reversible Irrfahrten, die sich durch zufällige Leitfähigkeiten von Nächsten-Nachbarn-Kanten auf dem Gitter bewegen. Reversibilität bietet dem Modell eine Vielzahl von interessanten Verbindungen mit anderen Bereichen in Mathematik, zum Beispiel Perkolationstheorie und stochastische Homogenisierung. Viele Fragen aus diesem Modell wurden durch Techniken aus partiellen Differentialgleichungen und harmonischen Analysis beantwortet.
Wie der Name der Arbeit zeigt, möchten wir dieses Modell unter "degenerierten Bedingungen" betrachten. Hier hat "degeneriert" im Wesentlichen zwei Bedeutungen. Ersten nehmen wir nicht an, dass die Leitfähigkeiten von oben und unten beschränkt und stochastisch unabhängig sind. Zweitens betrachten wir auch den Fall von Null-Leitfähigkeiten, wo sich der Irrfahrt nur auf einem Untergraphen von dem Gitter bewegen kann. Da es Perkolationsclusters gibt, wo die Existenz des unendlichen Clusters nicht auf stochastische Unabhängigkeit beruht, ist es vernünftig, den Mangel an stochastischer Unabhängigkeit zu akzeptieren.
Im Kapitel 2 studieren wir fast sichere Invarianzprinzipien. Wir nehmen an, dass die positiven Leitfähigkeiten einige gewisse Momentbedingungen erfüllen, die jedoch nicht von oben und unten beschränkt sind und einen eindeutigen unendlichen Cluster erzeugen und ein fast sicheres Invarianzprinzip für eine Irrfahrt unter relativ milden Bedingungen für die Struktur des unendlichen Clusters beweisen. Ein wesentlicher Bestandteil unseres Beweises ist eine neue verankerte relative isoperimetrische Ungleichung.
In Kapitel 3 studieren wir Liouville-Eigenschaften. Wie in Kapitel 2, nehmen wir auch einige Momentenbedingungen an und zeigen eine Liouville-Eigenschaft erster Ordnung für dieses Modell. Da sie die Korrektor-Methode von Papanicolaou und Varadhan benutzen, sind Kapitel 2 und 3 eng miteinander verknüpft auf technischer Ebene. Kapitel 4 beweist ein diskretes Analogon der Dirichlet-to-Neumann-Abschätzung, die die tangentialen und normalen Ableitungen einer harmonischen Funktion auf dem Rand einer Gebiete vergleicht. Dieses Ergebnis wird in Kapitel 3 benutzt und eventuell nützlich für numerische Analysis.
