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In this thesis we examine how to recover continuous systems from discrete systems, i.e. differential equations from difference equations. In particular, we are interested in equations with a variational (Lagrangian) structure and the transferal of this structure from the discrete to the continuous.
In the context of numerical integration, the differential equation corresponding to a given difference equation is known as its modified equation. Studying the modified equation to learn about a numerical integrator is a form of backward error analysis. It is well known that for a symplectic integrator applied to a Hamiltonian system, the modified equation is again a Hamiltonian equation. We will prove the corresponding result on the Lagrangian side: the modified equation for a variational integrator applied to a Lagrangian system is Lagrangian.
In the context of integrable systems, discrete models are often better understood than their continuous counterparts, so continuum limits are a useful tool to construct and study integrable hierarchies of differential equations. Over the last decade, a variational perspective on integrable systems has been developed, known as pluri-Lagrangian or Lagrangian multiform theory. It has analogous continuous and discrete versions. We will discuss how to take the continuum limit of a pluri-Lagrangian lattice equation to obtain a hierarchy of differential equations, together with its pluri-Lagrangian structure. We will apply this to most of the lattice equations of the ABS list and to some members of the lattice GD hierarchy. This way, we obtain many previously unknown examples of continuous pluri-Lagrangian systems, including a multi-component system.
Diese Arbeit behandelt die Frage, wie man kontinuierliche Systeme aus diskreten Systemen herleiten kann, d.h. Differentialgleichungen aus Differenzengleichungen. Insbesondere sind wir an Gleichungen mit einer variationellen (Lagrangeschen) Struktur interessiert, und an der Frage wie diese Struktur vom Diskreten ins Kontinuierliche übertragen werden kann.
Im Bereich der numerischen Integration nennt man die Differentialgleichung, die mit einer gegebenen Differenzengleichung übereinstimmt, die modifizierte Gleichung. Einen numerischen Integrator mittels seiner modifizierten Gleichung zu untersuchen, ist eine Form der Rückwärtsanalyse. Es ist bekannt, dass die modifizierte Gleichung für einen symplektischen Integrator, angewandt auf eine Hamiltonsche Gleichung, auch eine Hamiltonsche Gleichung ist. In dieser Arbeit leiten wir die entsprechende Aussage auf der Lagrangeschen Seite her: die modifizierte Gleichung für einen variationellen Integrator, angewandt auf eine Lagrangesche Gleichung, ist wieder eine Lagrangesche Gleichung.
Im Bereich der integrablen Systemen sind diskrete Gleichungen oft leichter zu verstehen als ihre kontinuierliche Ebenbilder. Deswegen sind stetige Limes ein hilfreiches Werkzeug um Hierarchien integrabler Gleichungen herzuleiten und ihre Eigenschaften zu erforschen. Im letzten Jahrzehnt ist eine variationelle Theorie für integrablen Systeme entwickelt worden: die Theorie der Pluri-Lagrangeschen Systeme, oder auch der Lagrangeschen Multiformen. Diese Theorie hat analoge Versionen auf der diskreten und der kontinuierlichen Ebene. In dieser Arbeit zeigen wir, wie man den stetigen Limes eines Pluri-Lagrangeschen Systems bildet. Das Ergebnis ist eine Hierarchie integrabler Differentialgleichungen, inklusive der Pluri-Lagrangeschen Struktur. Dieses Verfahren wenden wir auf die meisten diskreten Gleichungen der ABS-Liste und auf einigen Gleichungen der diskreten GD-Hierarchie an. Auf diese Weise finden wir verschiedene neue Beispiele kontinuierlicher Pluri-Lagrangescher Systeme, insbesondere auch ein Mehrkomponentensystem.
