# Dewetting of thin solid films

## Dziwnik, Marion

This dissertation is devoted to the mathematical study of solid state dewetting and deals with various mathematical topics such as phase field modeling, the derivation of corresponding sharp interface limits, existence of solutions, numerical simulations and linear stability analysis of the dewetting front. We start with the formulation of a two-dimensional anisotropic phase field model for solid state dewetting on a solid substrate. The evolution is described by a Cahn-Hilliard type equation with a bi-quadratic degenerate mobility and a polynomial homogeneous free energy. We propose an anisotropic free boundary condition at the film/substrate contact line which correspond to the natural boundary condition from the variational derivation. We show via matched asymptotic analysis that the resulting sharp interface model is consistent with the pure surface diffusion model. In addition, we show that the corresponding natural boundary conditions at the substrate imply a contact angle condition which is known as Young-Herring condition. We provide an existence result for the present degenerate partial differential equation on a simplified domain with homogeneous Neumann boundary conditions. Under the assumption that the strength of the anisotropy is sufficiently small, we establish certain convexity properties and higher order bounds of the strongly non-linear anisotropic operator. This enables to prove existence of weak solutions. Furthermore, we show that solutions are bounded by one without having a maximum principle. Completing the part which is concerned with the phase field representation, we consider the numerical simulation of the present model, where we apply a diffuse boundary approximation to handle the boundary conditions at the substrate. The reformulated equation can be solved by a standard finite element method. A matched asymptotic analysis shows that solutions of the reformulated equations formally converge to those of the original equations. We provide numerical simulations which confirm this analysis. In addition, we address the previously discussed question of how the mobility influences the evolution and simulate dewetting scenarios for different mobilities and anisotropies. In the last main chapter we consider a generalized class of thin film equations, including the case which corresponds to the small slope approximation of the sharp interface model for isotropic solid state dewetting. We present an improved method for the linear stability analysis of unsteady, non-uniform base states in thin film equations which exploits that the initial fronts evolve on a slower time-scale than the typical perturbations. The result is a unique value for the dominant wavelength which is different from the one obtained by the frequently applied linear stability analysis with "frozen modes". Furthermore we show that for the present class of stability problems the dispersion relation is linear in the long wave limit, which is in contrast to many other instability problems in thin film flows.
Die vorliegende Dissertation widmet sich der mathematischen Studie des Entnetzungsprozesses von dÃ¼nnen festen Filmen und beschÃ¤ftigt sich mit einer Vielfalt von mathematischen Themen, so wie die Modellierung eines Phasenfeld-Modells, die Herleitung des entsprechenden Sharp Interface Grenzwertes, schwache LÃ¶sungstheorie und die lineare StabilitÃ¤tsanalyse der Entnetzungsfront. Wir beginnen mit der Formulierung eines Phasenfeldmodells fÃ¼r den Entnetzungsprozess fester Filme auf einem festen Substrat. Die Evolution wird durch eine Gleichung vom Cahn-Hilliard-Typ mit einer biquadratischen degenerierten MobilitÃ¤t und einer polynomialen homogenen freien Energie beschrieben. Wir fordern anisotrope Randbedingungen am freien Rand an der Film-Substrat Kontaktlinie, die den natÃ¼rlichen Randbedingungen aus der variationellen Formulierung des Modells entsprechen. Wir zeigen mit Hilfe von "matched asymptotic analysis", dass das resultierende sharp interface Modell konsistent ist mit dem Modell fÃ¼r reine OberflÃ¤chendiffusion. DarÃ¼ber hinaus zeigen wir, dass die dazugehÃ¶rigen Randbedingungen eine Kontaktwinkel Bedingung implizieren, die auch als Young-Herring Bedingung bekannt ist. Wir zeigen die Existenz von schwachen LÃ¶sungen der vorliegenden Differentialgleichung auf einem vereinfachten Gebiet mit homogenen Neumann Randbedingungen. Unter der Bedingung, dass die StÃ¤rke der Anisotropie genÃ¼gend klein ist, zeigen wir bestimmte KonvexitÃ¤t-Eigenschaften und BeschrÃ¤nktheit zu hÃ¶heren Ordnungen des stark nicht-linearen anisotropen Operators. Das ermÃ¶glicht es uns die Existenz von schwachen LÃ¶sungen zu beweisen. Des weiteren zeigen wir, dass diese LÃ¶sungen durch Eins beschrÃ¤nkt sind ohne dass ein Maximumsprinzip zur VerfÃ¼gung steht. Den ersten groÃŸen Hauptteil, abschlieÃŸend betrachten wir die numerische Simulation des vorliegenden Modells, wobei wir eine "diffuse boundary" NÃ¤herung benutzen um die Randbedingungen am Substrat umzusetzen. Die umformulierte Gleichung kann mit Hilfe von standard- finite Elemente Methoden implementiert werden. Wir zeigen via "matched asymptotic analysis", dass LÃ¶sungen des umformulierten Problems formal gegen LÃ¶sungen des ursprÃ¼nglichen Problems konvergieren. Wir zeigen numerische Simulationen, die diese Analysis belegen. DarÃ¼ber hinaus beschÃ¤ftigen wir uns mit der Fragestellung der vorangegangen Kapitel, nÃ¤mlich in welcher Art die MobilitÃ¤t die Evolution beeinflusst. Dazu zeigen wir Simulationen zu verschiedenen MobilitÃ¤ten und Anisotropien. Im letzten Hauptkapitel betrachten wir eine verallgemeinerte Klasse von DÃ¼nnfilmgelichungen, die den Fall der "small slope approximation" des entsprechenden sharp interface Modells fÃ¼r OberflÃ¤chendiffusion beinhaltet. Wir prÃ¤sentieren eine verbesserte lineare StabilitÃ¤tsanalyse fÃ¼r zeitabhÃ¤ngige GrundzustÃ¤nde in DÃ¼nnfilmgelichungen, die ausnutzt dass sich die die Entnetzungsfront auf einer langsameren Zeitskala entwickeln als die typischen InstabilitÃ¤ten. Das Resultat ist ein eindeutiger Wert fÃ¼r die dominante WellenlÃ¤nge, die sich zudem von dem Wert, der durch eine klassische "frozen mode" Analyse erhalten wird, unterscheidet. Des weiteren zeigen wir, dass sich fÃ¼r die vorliegende Klasse von StabilitÃ¤tsproblemen die Dispersionsrelation im "long wave limit" linear verhÃ¤lt, was im Gegensatz steht zu vielen anderen StabilitÃ¤tsproblemen in dÃ¼nnen Filmen.