# Methods for the temporal approximation of nonlinear, nonautonomous evolution equations

## Eisenmann, Monika

Differential equations are an important building block for modeling processes in physics, biology, and social sciences. Usually, their exact solution is not known explicitly though. Therefore, numerical schemes to approximate the solution are of great importance. In this thesis, we consider the temporal approximation of nonlinear, nonautonomous evolution equations on a finite time horizon. We present two independent approaches that can be used to find a temporal approximation of the solution. As the solution of a nonlinear equation typically lacks global higher-order regularity, it cannot be expected to obtain higher-order convergence rates. Thus, we only concentrate on schemes that are formally of first order. In the first part of the thesis, we consider the question of how nonsmooth temporal data can be handled. A common method for the approximation of the integral of an irregular function is a Monte Carlo type quadrature rule. We take on this idea and use a similar approach to approximate the solution to a nonautonomous evolution equation. If the data is evaluated at the points of a randomly shifted grid, we can prove the convergence of the backward Euler scheme. Moreover, we prove explicit error estimates. Here, we introduce a second set of randomized points, where the data is evaluated, and make additional assumptions on the data and the solution. Secondly, we approximate the solution via an operator splitting based scheme. We work with both an implicit-explicit splitting and a product type splitting. First, we decompose the operator into a monotone and a bounded part. The implicit-explicit splitting is used to obtain one implicit equation that contains the monotone part. The bounded part is solved in an explicit fashion. This way, we only solve as many implicit equations as necessary. Further, we use a product type splitting on the monotone part. Even though this leads to more problems, they are potentially easier to solve individually. For this splitting scheme, we follow a similar approach as in the first part of the thesis. After proving the convergence of the scheme, we provide error bounds under additional assumptions on both the data and the solution. In order to provide an interesting field of application, we show that the schemes can be applied for the temporal approximation of certain nonlinear, parabolic problems.
Differentialgleichungen bilden einen wichtigen Bestandteil fÃ¼r die Modellierung von Prozessen in der Physik, Biologie und Sozialwissenschaft. Allerdings lÃ¤sst sich ihre LÃ¶sung nur in seltenen FÃ¤llen analytisch bestimmen. Aus diesem Grund ist eine numerische NÃ¤herung der LÃ¶sung von groÃŸer Wichtigkeit. In dieser Arbeit betrachten wir die Zeitdiskretisierung von nichtlinearen, nichtautonomen Evolutionsgleichungen auf einem endlichen Zeitintervall. Wir prÃ¤sentieren zwei unabhÃ¤ngig voneinander anwendbare LÃ¶sungsverfahren fÃ¼r die zeitliche Approximation der LÃ¶sung. Da die LÃ¶sung einer nichtlinearen Gleichung hÃ¤ufig irregulÃ¤r ist, kÃ¶nnen keine besonders hohen Konvergenzraten erwartet werden. Aus diesem Grund konzentrieren wir uns ausschlieÃŸlich auf Verfahren, die formal eine Konvergenzordnung von eins aufweisen. Im ersten Teil der Arbeit beschÃ¤ftigen wir uns mit der Frage, wie zeitlich irregulÃ¤re Daten behandelt werden kÃ¶nnen. FÃ¼r die Approximation des Integrals einer nichtglatten Funktion ist ein Monte-Carlo-Algorithmus hÃ¤ufig eine gute Wahl. Wir verfolgen hier einen Ã¤hnlichen Ansatz, um die LÃ¶sung einer nichtautonomen Evolutionsgleichung zu approximieren. Wir zeigen die Konvergenz des impliziten Euler Verfahrens unter der Verwendung eines zufÃ¤llig verschobenes Zeitgitters. Weiterhin kÃ¶nnen unter zusÃ¤tzlichen Voraussetzungen an die Daten und die LÃ¶sung explizite Fehlerschranken angegeben werden. Um diese zu zeigen, wenden wir eine weitere Randomisierung an. Der zweite Teil der Arbeit enthÃ¤lt ein Approximationsverfahren, das ein Operatorsplitting nutzt. Wir verwenden sowohl ein implizit-explizites Splitting als auch ein Produktsplitting. Hierbei zerlegen wir den Operator zunÃ¤chst in einen monotonen und einen beschrÃ¤nkten Anteil. Das implizit-explizit Splitting wird genutzt, um eine implizite Gleichung zu erhalten, die den monotonen Anteil enthÃ¤lt. Der beschrÃ¤nkte Anteil kann in einer expliziten Gleichung gelÃ¶st werden. Auf diese Weise entstehen nur so viele implizite Gleichungen, wie tatsÃ¤chlich notwendig sind. Weiterhin verwenden wir das Produktsplitting, um die implizite Gleichung weiter aufzuteilen. Hierbei erhalten wir zwar mehr Gleichungen, diese sind aber mÃ¶glicherweise leichter zu lÃ¶sen. FÃ¼r das Splittingverfahren gehen wir Ã¤hnlich vor wie im ersten Teil der Arbeit. Nachdem die Konvergenz des Verfahrens gezeigt ist, wenden wir uns auch hier expliziten FehlerabschÃ¤tzungen zu, die unter zusÃ¤tzlichen Voraussetzungen an die Daten und die LÃ¶sung mÃ¶glich sind. SchluÃŸendlich prÃ¤sentieren wir fÃ¼r beide Verfahren ein Anwendungsbeispiel aus dem Bereich der nichtlinearen, parabolischen Differentialgleichungen.