Loading…
On the nonsmooth analysis of doubly nonlinear evolution inclusions of first and second order with applications
Bacho, Aras
Many phenomena in nature are characterized by discontinuous processes. To describe them by suitable mathematical models is often a challenge. Evolution inclusions can be a suitable means to model such discontinuous processes mathematically. The present work is devoted to the nonsmooth analysis of doubly nonlinear evolution inclusions of first and second order with leading subdifferential operators and nonmonotone and non-variational perturbations using methods from the theory of convex analysis. The thesis is divided into two parts. In the first part, we prove the existence of strong solutions to abstract Cauchy problems for perturbed generalized gradient flows for a certain class of nonlinear and monotone subdifferential operators acting on the time derivative of the solution, and nonlinear and non-monotone subdifferential operators acting on the solution as well as a certain class of perturbations. As an application of the abstract existence result, we show the existence of weak solutions of an initial-boundary value problem. In the second part, we prove the existence of strong solutions to abstract Cauchy problems for doubly nonlinear evolution inclusions of second order. In doing so, we treat the equations with linear and nonlinear damping separately. In the case of linear damping, we consider a special class of leading linear potential operators acting on the time derivative of the solution, and nonlinear subdifferential operators acting on the solution. In the case of nonlinear damping, we consider the reverse case. In both cases, we allow a perturbation which depends nonlinearly on the solution as well as its time derivative. As an application of the abstract existence results, we prove the existence of weak solutions to certain initial-boundary value problems.
Viele Phänomene in der Natur sind durch unstetige Prozesse charakterisiert. Diese durch ein geeignetes mathematisches Modell zu beschreiben, stellt oftmals eine Herausforderung dar. Evolutionsinklusionen können ein geeignetes Mittel sein, solche unstetigen Prozesse mathematisch zu modellieren. Die vorliegende Arbeit widmet sich der nichtglatten Analyse von doppelt nichtlinearen Evolutionsinklusionen erster und zweiter Ordnung mit führenden Subdifferentialoperatoren und nicht-monotonen und nicht-variationellen Störungen mit Methoden aus der Theorie der konvexen Analysis. Die Arbeit ist in zwei Teile gegliedert. Im ersten Teil weisen wir die Existenz von starken Lösungen zu abstrakten Cauchy Problemen für gestörte verallgemeinerte Gradientenflüsse für eine bestimmte Klasse von nichtlinearen und monotonen Subdifferentialoperatoren, welche auf die Zeit- Ableitung der Lösung wirken, und nichtlinearen und nicht-monotonen Subdifferentialoperatoren, welche auf die Lösung wirken, sowie einer bestimmten Klasse von Störungen nach. Als Anwendung des abstrakten Existenzresultats, zeigen wir die Existenz von schwachen Lösungen eines Anfangs-Randwertproblems. Im zweiten Teil weisen wir die Existenz von starken Lösungen zu abstrakten Cauchy Problemen für doppelt nichtlineare Evolutionsinklusionen zweiter Ordnung nach. Dabei behandeln wir hyperbolische Gleichungen mit linearer und nichtlinearer Dämpfung gesondert. Im Fall der linearen Dämpfung betrachten wir eine spezielle Klasse von führenden linearen Potentialoperatoren, welche auf die Zeit-Ableitung der Lösung wirken, und nichtlinearen Potentialoperatoren, welche auf die Lösung wirken. Im Fall der nichtlinearen Dämpfung betrachten wir den umgekehrten Fall. In beiden Fällen erlauben wir eine Störung, welche nichtlinear von der Lösung sowie ihrer Zeit-Ableitung abhängt. Als Anwendung der abstrakten Existenzresultate weisen wir die Existenz von schwachen Lösungen zu gewissen Anfangs-Randwertproblemen nach.
