Mathematical modeling of concentrated suspensions

Ahnert, Tobias

The present thesis studies multiphase models for complex fluids - in particular for concentrated suspensions. The subject is introduced by the derivation of a new thin-film model for the simulation of a drying front on a substrate. The proposed model has two main weaknesses: The mechanism of particle transport is not derived from the rheology of the fluid, but is hypothesized. And the model is not able to capture the behavior of the fluid in dry as well as in fluid regions, which are both present in a drying front. This motivates the proposal of a new Eulerian-Eulerian multiphase model, that models the mass and momentum conservation of the liquid and solids separately. It is applied to plane Poiseuille flow, which allows the derivation of an exact analytic solution and shows a novel viscoplastic behavior of the multiphase model. Then, we derive a particle transport mechanism for viscoplastic fluids through the usage of asymptotic techniques. The stability of the multiphase model is analyzed using the method of normal modes, which allows us to find a previously unknown necessary criterion for well-posedness of the model. Additionally, we identify transient growing modes. Then, the study of stability is redone using a new derivation of the multiphase model based on energetic principles. This allows for the systematic derivation of consistent free-boundary conditions and a generalization of the necessary criterion for well-posedness of the model to general flows. Since the multiphase model is reducible to viscoplastic thin-film models, an alternative derivation for a known model is given that is based on a variational inequality framework. The existence of solutions for a particular model is proven using monotonicity methods. Finally, the multiphase model is systematically analyzed for contained simpler models. In particular, a thin-film model with additional transport mechanism for the particles is derived from multiphase models. This shows how constitutive laws for the rheology of the multiphase model influence the transport mechanisms in thin-film models. Additionally, an assumption is given under which the multiphase model allows the derivation of a viscoplastic thin-film model.
Die vorliegende Arbeit beschÃ¤ftigt sich mit Multiphasenmodellen fÃ¼r komplexe FlÃ¼ssigkeiten, insbesondere mit Modellen fÃ¼r konzentrierte Suspensionen. Die Motivation ist gegeben durch die Herleitung eines neuen DÃ¼nnfilmmodells fÃ¼r eine Trocknungsfront auf einem Substrat. Das neue Modell hat den Nachteil, dass der genaue Transportmechanismus von Partikeln in der Suspension gemutmaÃŸt wird und sich nicht aus der Rheologie der untersuchten FlÃ¼ssigkeit herleiten lÃ¤sst. Des Weiteren sind bei Trocknungsproblemen immer flÃ¼ssige und trockene Gebiete vorhanden, so dass ein viskoplastisches Modell zu bevorzugen ist, dass beide ZustÃ¤nde simulieren kann. Zur LÃ¶sung dieser Probleme wird ein neuartiges Euler-Euler-Multiphasenmodell vorgeschlagen, das die Massen- und Impulserhaltung der FlÃ¼ssigkeit und der Partikel getrennt voneinander betrachtet. Dieses Modell beschreibt ein viskoplastisches Verhalten, was anhand der Herleitung einer exakten LÃ¶sung fÃ¼r die flache Poiseuille-StrÃ¶mung gezeigt wird. Wir leiten anschlieÃŸend mittels asymptotischer Methoden eine Gleichung fÃ¼r den Transport von Partikel in einer viskoplastischen Rheologie her. Danach wird die StabilitÃ¤t des Multiphasenmodells in gescherten StrÃ¶mungen untersucht. Wir finden eine vorher unbekannte notwendige StabilitÃ¤tsbedingung fÃ¼r Multiphasenmodelle und identifizieren Moden mit transientem Wachstum bei den betrachteten StrÃ¶mungen. Die StabilitÃ¤t wird anschlieÃŸend noch einmal fÃ¼r allgemeine StrÃ¶mungen untersucht, indem das Modell aus energetischen Prinzipien neu hergeleitet wird. Dies erlaubt zusÃ¤tzlich die Herleitung einer mit der Massenerhaltung konsistenten freien Randbedingung. Da es eine direkte Verbindung zwischen einem viskoplastischen DÃ¼nnfilmmodell und unserem Multiphasenmodell gibt, geben wir eine alternative Herleitung des DÃ¼nnfilmmodells mittels DÃ¼nnfilmnÃ¤herung einer variationellen Ungleichung an. Es schlieÃŸt sich ein Existenzbeweis fÃ¼r eine regularisierte LÃ¶sung des DÃ¼nnfilmmodells mit Monotoniemethoden an. Zum Schluss wird das Multiphasemodell auf enthaltene Grenzmodelle mittels asymptotischen Methoden untersucht. Dabei wird unter anderem ein Modell fÃ¼r flache Suspensionen aus dem Multiphasenmodell hergeleitet, dass den Transportmechanismus direkt an die Rheologie der untersuchten FlÃ¼ssigkeit koppelt und eine neuartige Verbindung zwischen Multiphasenmodellierung und DÃ¼nnfilmmodellierung erlaubt. AuÃŸerdem wird eine Bedingung angegeben, die es erlaubt, viskoplastische DÃ¼nnfilmmodelle aus dem Multiphasenmodell herzuleiten.