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Realizability of tropical plane curves and tropical incidence geometry
Tewari, Ayush Kumar
Tropical plane curves are one of the building blocks in the study of tropical algebraic geometry. A lot of work has been done to understand and establish connections between tropical and classical algebraic geometry. The first step in this direction is to consider the case of smooth tropical curves. This in turn comes with a nice connection to lattice polytopes and their unimodular triangulations. This highly combinatorial setting helps to explore the algebro-geometric aspects of tropical curves by trying to find when a smooth tropical curve is realizable. This leads us to study the skeleton of a tropical curve, which is a metric graph that encodes the combinatorial information regarding the curve. Our main goal here is to understand the combinatorial nature of these skeletons and to try to find which graphs can occur as skeletons of smooth tropical plane curves, and in this way, we come up with certain obstructions which prevent a graph from being a skeleton of a tropical curve. We encounter a special class of lattice polytopes, namely panoptigons, which help us in identifying a new criterion for non-realizability of a graph as a skeleton. Having studied about smooth tropical planar curves, in the latter section we move on to the study of incidence of points and lines in the tropical plane and arrangements of tropical lines. In the light of recent results exploring tropical point-line incidence, we establish a tropical De Bruijn–Erdős theorem. We also study stable tropical lines and using projective duality in the tropical plane, we find dual results concerning stable intersections. Utilizing duality of tropical curves with subdivisions of Newton polytopes we also establish connections between point-line geometry and the faces of subdivisions of Newton polytopes. With tropical Sylvester-Gallai theorem and tropical De Bruijn–Erdős theorem, we discuss other results which have been obtained about point-line geometry in the tropical plane and beyond.
Tropische ebene Kurven bilden einen Teil des Fundaments der tropischen algebraischen Geometrie. Die Verbindung zwischen klassischer und tropischer Geometrie zu untersuchen und zu vertiefen ist Thema vieler aktueller Arbeiten. Der erste Schritt ist die Untersuchung glatter tropischer Kurven mittels ihrer Verbindung mit unimodularen Triangulierungen von Gitterpolytopen. In diesem kombinatorischen Rahmen lässt sich die Frage nach der Realisierbarkeit tropischer Kurven stellen. Dies führt uns zum Studium des Skeletts tropischer Kurven, einem metrischen Graphen, der die kombinatorische Information der Kurve kodiert. Wir wollen verstehen, welche Graphen als Skelett glatter tropischer Kurven auftreten können. Dadurch gelangen wir zu Bedingungen an einen Graphen, die ihn davon abhalten, Skelett einer tropischen Kurve zu sein. Eine besondere Klasse von Gitterpolytopen, “panoptigons”, hilft uns neue Kriterien für Nichtrealisierbarkeit eines Graphen als Skelett zu finden. Nach den glatten tropischen Kurven besch¨aftigen wir uns mit der Inzidenz von Punkten und Geraden in der tropischen Ebene, sowie Arrangements von tropischen Geraden. Basierend auf jüngsten Ergebnissen über tropische Punkt-Geraden Inzidenz, leiten wir eine tropische Version des De Bruijn–Erdős Theorems her. Außerdem untersuchen wir stabile tropische Geraden und, vermöge projektiver Dualität, bekommen wir duale Ergebnisse für stabile Schnitte. Durch die Dualität tropischer Kurven mit Unterteilungen von Newtonpolytopen können wir Verbindungen zwischen der Punkt-Geraden-Geometrie und den Seiten in der Unterteilung des Newonpolytops herstellen. Unter dem Gesichtspunkt des tropischen Sylvester-Gallai Theorems und des tropischen De Bruijn–Erdős Theorems erläutern wir andere Ergebnisse zur Punkt-Geraden Geometrie in der tropischen Ebene und darüber hinaus.
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