We introduce Möbius invariant objects - discrete holomorphic quadratic differentials to connect discrete complex analysis, discrete integrable systems and geometric rigidity. Discrete holomorphic quadratic differentials parametrize the change of the logarithmic cross ratios of planar discrete surfaces under infinitesimal conformal deformations. We show that on planar triangulated disks, there is a one-to-one correspondence between discrete holomorphic quadratic differentials and discrete harmonic functions modulo linear functions. Furthermore, every discrete holomorphic quadratic differential yields an S 1-family of discrete minimal surfaces via a Weierstrass representation. It leads to a unified theory of discrete minimal surfaces, establishing connections between the integrable systems approach, the curvature approach and the variational approach to discrete minimal surfaces. Considering discrete holomorphic quadratic differentials on surfaces in Euclidean space results in a notion of triangulated isothermic surfaces. Triangulated isothermic surfaces can be characterized in terms of circle pattern theory and the theory of length cross ratios. This notion opens the door to develop discrete integrable systems on surfaces of arbitrary combinatorics.
Wir führen möbiusinvariante Objekte - nämlich diskrete holomorphe quadratische Differenziale - ein, um diskrete Funktionentheorie, diskrete integrable Systeme und geometrische Starrheit zu verbinden. Diskrete holomorphe quadratische Differenziale parametrisieren die Änderung der logarithmischen Doppelverhältnisse von ebenen diskreten Flächen unter infinitesimalen konformen Verformungen. Auf ebenen triangulierten Scheiben gibt es einen eindeutigen Zusammenhang zwischen diskreten holomorphen quadratischen Differenzialen und diskret harmonischen Funktionen modulo lineare Funktionen. Jedes diskrete holomorphe quadratische Differential liefert über eine Weierstrass-Darstellung eine S 1-Familie von diskreten Minimalflächen. Dies führt zu einer einheitlichen Theorie diskreter Minimalflächen, wobei eine Verbindung zwischen dem Ansatz über integrable Systeme, dem Krümmungsansatz und dem Variationsansatz für diskrete Minimalflächen hergestellt wird. Diskrete holomorphe quadratische Differenziale auf Flächen im euklidischen Raum führen zum Begriff triangulierter isothermer Oberflächen. Triangulierte isotherme Flächen können mittels Kreismustertheorie und der Theorie der Längendoppelverhältnisse charakterisiert werden. Dieser Begriff eröffnet eine Möglichkeit, diskrete integrable Systeme auf Flächen beliebiger Kombinatorik zu entwickeln.
