# Pesin's formula for translation invariant random dynamical systems

## Senin, Vitalii

Pesin's formula asserts that metric entropy of a dynamical system is equal to the sum of its positive Lyapunov exponents, where metric entropy measures the chaoticity of the system, whereas Lyapunov exponents measure the asymptotic exponential rate of separation of nearby trajectories. It is well known, that this formula holds for dynamical systems on a compact Riemannian manifold with an invariant probability measure. Translation invariant Brownian flows is a specific class of stochastic flows on Rd with independent and stationary increments and with a distribution, which is invariant with respect to translations in Rd. They have a Lyapunov spectrum but do not have an invariant probability measure. We represent translation invariant Brownian flows as random dynamical systems in the sense of (18) and {25}. Further, we define entropy for translation invariant (in distribution with respect to translations in Rd) random dynamical systems restricting the definition to the unit cube. It turns out that this definition makes sense because of the translation invariance of the systems. After that, we show that for translation invariant random dynamical systems the defined entropy is less then or equal to the sum of their positive Lyapunov exponents. Moreover, we establish Pesin's formula in the case when the system preserves the volume. This also implies the respective results for translation invariant Brownian flows. We also discuss an alternative approach to the definition of entropy. We define entropy for random dynamical systems with the fixed origin using ideas of Brin and Katok, see {9}. After that we prove Ruelle's inequality with respect to this definition, i.e. we bound from above the defined entropy by the sum of positive Lyapunov exponents of the systems. This implies the respective result for translation invariant random dynamical systems and translation invariant Brownian flows.
Pesins Formel besagt, dass die metrische Entropie eines dynamischen Systems gleich der Summe seiner positiven Lyapunov Exponenten ist, wobei die metrische Entropie die ChaotizitÃ¤t des Systems beschreibt und Lyapunov Exponenten die asymptotische exponentielle Rate der Trennung benachbarter Trajektorien messen. Es ist bekannt, dass diese Formel fÃ¼r dynamische Systeme auf einer kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit mit invariantem WahrscheinlichkeitsmaÃŸ gilt. Translationsinvariante Brownsche FlÃ¼sse sind eine spezifische Klasse stochastischer FlÃ¼sse auf Rd mit unabhÃ¤ngigen stationÃ¤ren Inkrementen und einer Verteilung, die im Bezug auf Translationen im $\mathbb{R}^d$ unverÃ¤nderlich ist. Sie haben ein Lyapunov Spektrum, aber kein invariantes Wahrscheinlichkeitsma\ss. Wir reprÃ¤sentieren translationsinvariante Brownsche FlÃ¼sse als zufÃ¤llige dynamische Systemen im Sinne von {18} und {25}. AuÃŸerdem definieren wir die Entropie fÃ¼r translationsinvariante (in der Verteilung gegenÃ¼ber Translationen im $\mathbb{R}^d$) zufÃ¤llige dynamische Systeme, wobei die Definition auf den EinheitswÃ¼rfel beschrÃ¤nkt wird. Es stellt sich heraus, dass diese Definition aufgrund der Translationinvarianz der Systeme sinnvoll ist. Danach zeigen wir, dass fÃ¼r translationsinvariante zufÃ¤llige dynamische Systeme die definierte Entropie kleiner oder gleich der Summe ihrer positiven Lyapunov Exponenten ist. AuÃŸerdem legen wir Pesins Formel fÃ¼r den Fall fest, wenn das System das Volumen beibehÃ¤lt. Dies impliziert auch die jeweiligen Ergebnisse fÃ¼r translationsinvariante Brownsche FlÃ¼sse. Wir diskutieren auch einen alternativen Ansatz zur Definition von Entropie. Wir definieren die Entropie fÃ¼r zufÃ¤llige dynamische Systeme mit festem Ursprung mit Ideen von Brin und Katok, siehe {9}. Danach beweisen wir Ruelles Ungleichung mit dieser Definition, d.h. wir schÃ¤tzen von oben her die definierte Entropie durch die Summe der positiven Lyapunov Exponenten der Systeme ab. Dies impliziert das jeweilige Ergebnis fÃ¼r translationsinvariante zufÃ¤llige dynamische Systeme und translationsinvariante Brownsche FlÃ¼sse.