The distribution of values of Artin L-Functions and applications
Bauer, Hartmut
Diese Arbeit befaßt sich mit den Artinschen L-Reihen einer beliebigen endlichen normalen Erweiterung von $Q$. Es wird eine Universalitätseigenschaft der durch diese Artinschen L-Reihen definierten Artinschen L-Funktionen bewiesen. Hierbei handelt es sich um die Verallgemeinerung eines bereits bekannten Satzes über Dirichletsche L-Reihen, welcher von Sergej M. Voronin stammt. Die hier dargelegte Theorie setzt damit die von Harald Bohr, Jessen, Titchmarsh und Voronin entwickelte Theorie über die Werteverteilung der Riemannschen Zeta-Funktion und Dirichletscher L-Reihen fort. Die Beweise sind unabhängig von der Artinschen Vermutung, daß Artinsche L-Funktionen mit nicht-trivialen Charakteren ganze Funktionen darstellen. In den Anwendungen werden Ergebnisse von Davenport und Heilbronn bzw.Voronin über die Nullstellen von Hurwitz-Zeta-Funktionen und Zeta-Funktionen positiv definiter quadratischer Formen verallgemeinert. So wird bewiesen, daß jede Zeta-Funktion über eine Ideal-Klasse einer allgemeinen Klassengruppe Nullstellen im Bereich $1/2 < Re(s)< 1$ hat, wenn diese Klassengruppe nicht trivial ist. Weitere Anwendungen beschäftigen sich mit der funktionalen Unabhängigkeit von Dedekindschen Zeta-Funktionen normaler Erweiterungen von $Q$. Darüber hinaus wird ein Universalitätstheorem für eine Artinsche L-Funktion einer beliebigen endlichen normalen Erweiterung $K/k$ von Zahlkörpern bewiesen.
The subject of this thesis is Artin L-Series over finite normal extensions of $Q$. We prove a universality property of the Artin L-functions. This theorem is a generalisation of a theorem of Sergej M. Voronin on Dirichlet L-functions. In so far we extend the theory of Harald Bohr, Jessen, Titchmarsh and Voronin on the value distributions of the Riemann Zeta-function and Dirichlet L-series. Our proofs are independent of Artin's conjecture on the holomorphy of Artin L-functions with non-trivial characters. In the applications we generalize theorems on the zeros of Hurwitz Zeta-functions and Zeta-functions of quadratic forms to Zeta-functions of ideal classes of an arbitrary number field. We prove that there are infinitely many zeros in the strip $1/2 < Re(s)< 1$ provided that the class group is non-trivial. Further applications concern the functional independence of Dedekind Zeta-functions of normal extensions. We generalize our universality theorem on Artin L-functions defined over $Q$ to an Artin L-function of an arbitrary normal extension $K/k$.
