# Variational formulas for immersions into 3-manifolds

## Chubelaschwili, David

In this thesis we introduce the S-theory. We apply the S-theory to variational problems of immersed Riemann surfaces, Elasticity theory and Spin theory. From classical mechanics it is known that geometric problems can be substantially simplified by symmetry considerations. The Noether theorem describes in this case how to find conservation laws from the invariance property of the observed energy. At first, the motivation was to give the space of immersions M = {f : M → R3}, for an oriented Riemannian manifold M of dimension less than or equal to three, an Euclidean invariant description. For geometric energies, i.e. energies which are invariant under Euclidean transformations, one would be able to derive conservation laws for the respective variational problems. It is a well known fact that immersed space curves are uniquely determined by their curvature functions (κ1,κ2,τ) up to Euclidean transformations. In the case of immersed surfaces and immersed 3-manifolds the situation becomes more complicated and leads to a non conformal deformation theory (S-Theorie). The S-Theory builds the foundations of this thesis. Starting from a Riemannian manifold M and a reference metric ⟨ , ⟩ one can model any other Riemmanian metric g through a positive definite and self adjoint operator S via g = ⟨S,S⟩. The operator S is an isometry, i.e. g = S∗⟨,⟩. From this point of view we compute the Levi- Civita connection with respect to g out of Levi-Civita connection of the reference metric and the operator S. Further we introduce Spin bundles over two and three dimensional oriented Riemannian manifolds. Thereby Spin bundles, in contrast to most of the literature, have additionally a quaternionic structure. Many formulas become clearer and more accessible. We show that any Spin bundle Σ over (M, ⟨ , ⟩) has a unique Spin connection and compute via the S-Theory the deformed Spin connection with respect to the metric g. Eventually we consider the induced Spin bundle of an immersion f : M → R3 and compute the corresponding Spin connection and find a new interpretation of the Gauss-Codazzi equation. We introduce the Dirac operator and compute its deformation with respect to the metric g. We are now able to give the space of immersed surfaces M = {f : M → R3} the desired geometric description. We compute the normal space of M and formulate the Noether theorem. As an application we compute conservation laws for the Willmore functional. Finally we introduce the intrinsic version of the famous distance-squared energy on a n-dimensional Riemannian manifold. We introduce the corresponding stress tensor and show that it’s closeness is a characterization for critical points of the energy. Thereby the S-theory provides a fundamental concept for the understanding of the stress tensor. In the case of a Riemann surface, the S-theory provides a canonical harmonic rotation 1-form for critical points of the distance-squared energy.
In dieser Arbeit führen wir die S-Theorie ein und wenden diese auf Variationsprobleme für immersierte Riemann Flächen, Elastizitätstheorie und die Spin Theorie an. Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass durch Symmetriebetrachtungen geometrische Probleme wesentlich vereinfacht werden. Das Noether-Theorem erklärt dabei, wie man Erhaltungsgrößen aus der invarianten Eigenschaft der betrachteten Energie finden kann. Die zu anfangs bestehende Motivation war es, den Raum der Immersionen M = {f : M → R3}, für eine orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit M der Dimension kleiner oder gleich drei, eine euklidisch invariante Beschreibung zu verleihen um schliesslich aus geometrische Energien, welche unabhängig von Euklidischen Transformationen sind, automatisch Erhaltungssätze zu den jeweiligen Variationsproblemen herleiten zu können. Im Falle von immersierten Kurven ist bekannt, dass diese durch ihre Krümmungsfunktion (κ1,κ2,τ) bis auf Euklidische Transformationen eindeutig bestimmt sind. Im Falle von immersierten Flächen und immersierten 3-Mannigfaltigkeiten ist der Sachverhalt komplizierter und führt zu einer nicht konformen Deformationstheorie (S-Theorie). Die S-Theorie bildet die Grundlage für die folgenden Kapitel dieser Arbeit. Ausgehend von einer Riemannschen Mannigfaltigkeit M und einer Referenzmetrik ⟨,⟩ lässt sich jede weitere Riemansche Metrik g durch einen positiv definiten Operators S mittels g = ⟨S,S⟩ modellieren. Der Operator S ist somit eine Isometrie, d.h. g = S∗⟨ , ⟩. Durch diese Sichtweise lässt sich der Levi-Civita Zusammenhang bezüglich g aus dem Levi-Civita Zusammenhang bezüglich der Referenzmetrik und dem Operator S berechnen. Weiter werden Spin Bündel über zwei und drei dimensionalen orientierten Riemannschen Man- nigfaltigkeiten eingeführt. Dabei haben Spin Bündel, anders als in der Literatur, zusätzlich eine quaternionische Struktur. Viele Formeln werden dadurch übersichtlicher und zugänglicher. Es wird gezeigt, dass jedes Spin Bündel Σ über (M,⟨,⟩) einen eindeutigen Spin Zusammenhang hat und berechnen mittels der S-Theorie den deformierten Spin Zusammenhang bezüglich der Metrik g. Schliesslich betrachten wir das von einer Immersion f : M → R3 induzierte Spin Bündel und berechnen den dazugehörigen Spin Zusammenhang und finden eine neue Interpretation der Gauss-Codazzi-Gleichung. Wir führen den Dirac Operator ein und berechnen wie sich dieser bezüglich der Metrik g deformiert. Nun sind wir in der Lage eine geometrische Beschreibung des Raumes M = {f : M → R3} der immersierten Flächen im Euklidischen Raum zu geben. Wir berechnen dessen normalen Raum und formulieren das Noether-Theorem. Als Anwendung werden Erhaltungsgrößen des Willmore- Funktionals berechnet. Schließlich wird eine intrinsische Version der distance-squared Energie auf einer n-dimensionalen Riemanschen Mannigfaltigkeit beschrieben. Dann wird der Spannungstensor eingeführt. Dessen Geschlossenheit liefert eine Charakterisierung für die kritischen Punkte der Energie. Dabei hat die S-Theorie eine fundamentale Bedeutung für das Verständnis des Spannungstensors. Im Falle von Riemannschen Flächen erhalten wir aus der S-Theorie eine Rotationsform, welche für kritischen Punkte der distance-squared Energie, harmonisch ist.