Well-posedness and realization theory for delay differential-algebraic equations
| dc.contributor.advisor | Mehrmann, Volker | |
| dc.contributor.author | Unger, Benjamin | |
| dc.contributor.grantor | Technische Universität Berlin | en |
| dc.contributor.referee | Linh, Vu Hoang | |
| dc.contributor.referee | Mehrmann, Volker | |
| dc.contributor.referee | Michiels, Wim | |
| dc.date.accepted | 2020-10-22 | |
| dc.date.accessioned | 2020-11-10T10:00:33Z | |
| dc.date.available | 2020-11-10T10:00:33Z | |
| dc.date.issued | 2020 | |
| dc.description.abstract | This thesis is dedicated to delay differential-algebraic equations (DDAEs), i.e., constraint dynamical systems where the rate of change depends on the current state and its past. Typical applications include - feedback control, where the delay is a direct consequence of the time required to measure the current state, compute the feedback, and implement the control action, - hybrid numerical-experimental testing environments, used for instance in earthquake engineering, - transmission and propagation delays, encountered for example in chemical reactions connected in series and wide-area power-networks, and - as a mathematical tool to analyze hyperbolic equations and time-integration schemes. The fact that algebraic equations can be included in the implicit system description fosters a rapid model development since complex models can be assembled from a library of existing models with well-defined interaction variables. From a mathematical point of view, DDAEs do not only feature difficulties already known from the theory of differential-algebraic equations (DAEs) and delay differential equations (DDEs) but pose additional challenges. For instance, initial trajectory problems for DDAEs may not be causal. Thus, even in a distributional solution space, they may not have a solution for all initial trajectories. This fact, combined with the infinite-dimensional character of delay equations and the high sensitivity to perturbation known from the theory of DAEs, renders DDAEs a challenging mathematical object. Consequently, the analysis of DDAEs is far from complete. The aim of this thesis is to address some of the many open problems. In the first part of the thesis, initial trajectory problems for linear time-invariant (LTI) and nonlinear DDAEs are discussed. We start our analysis with a distributional solution concept and establish the existence and uniqueness of solutions, whenever the DDAE is delay-regular. Jumps and Dirac-impulses in the solution can be avoided if the coefficient matrices of the LTI DDAE satisfy some algebraic conditions, which are obtained by tracking so-called primary discontinuities. We extend some of the results to the nonlinear setting resulting in existence and uniqueness results for a large class of nonlinear DDAEs. The second part of the thesis is dedicated to constructing a DDAE solely from a prescribed set of data points. Having a time-delay in the realization allows us to build an infinite-dimensional system from finitely many points capable of reproducing the transcendental character of the transfer function of a distributed parameter subsystem that models convection or transport. We construct a realization so that it interpolates the data set in the frequency domain and demonstrate its applicability with several numerical examples. | en |
| dc.description.abstract | Diese Arbeit befasst sich mit zeitverzögerten Differential-Algebraischen Gleichungen (DDAEs), das heißt mit Differentialgleichungen mit Zwangsbedingungen, bei denen die Änderungsrate sowohl vom aktuellen Zustand als auch von der Vergangenheit abhängt. Typische Anwendungen umfassen - Rückkopplungssteuerung, wobei sich die Verzögerung aus der benötigten Zeit zur Messung des aktuellen Zustands, Berechnung der Rückkopplung und Implementierung selbiger ergibt, - hybride numerisch-experimentelle Testverfahren, wie sie beispielsweise in der Erdbebenforschung eingesetzt werden, - Übertragungs- und Ausbreitungsverzögerungen, die beispielsweise bei in Reihe geschalteten chemischer Reaktionen sowie bei großflächigen Stromnetzen auftreten und - als mathematisches Werkzeug zur Analyse hyperbolischer Gleichungen und Zeitintegrationsverfahren. Die Tatsache, dass algebraische Gleichungen in das implizite System aufgenommen werden können, begünstigt eine schnelle Modellentwicklung, da komplexe Modelle nach dem Baukastenprinzip aus einer Bibliothek von Modellen mit genau definierten Interaktionsvariablen zusammengesetzt werden können. Aus mathematischer Sicht weisen DDAEs nicht nur Schwierigkeiten auf, die bereits aus der Theorie der Differential-Algebraischen Gleichungen (DAEs) und zeitverzögerten Differentialgleichungen (DDEs) bekannt sind, sondern stellen zusätzliche Herausforderungen bereit. Beispielsweise können Anfangstrajektorienprobleme für DDAEs akausales Verhalten aufweisen. Dies führt dazu, dass selbst bei linearen DDAEs mit einem distributionellen Lösungskonzept nicht notwendigerweise für alle Anfangstrajektorien eine Lösung existiert. Dieses Phänomen in Kombination mit dem unendlich-dimensionalen Charakter von zeitverzögerten Differentialgleichungen sowie der aus der DAE-Theorie bekannten hohen Sensitivität gegenüber Störungen machen DDAEs zu einem herausfordernden mathematischen Objekt. Folglich gibt es zahlreiche nicht gelöste Forschungsfragen im Zusammenhang mit DDAEs. Das Ziel dieser Arbeit ist es, einige dieser Fragen zu beantworten. Im ersten Teil der Arbeit werden Anfangstrajektorienprobleme für lineare zeitinvariante (LTI) und nichtlineare DDAEs diskutiert. Wir beginnen unsere Analyse mit einem distributionellen Lösungskonzept und beweisen Existenz- und Eindeutigkeitsresultat für sogenannte delay-reguläre DDAEs. Um Sprünge, Dirac-Impulse und Ableitungen von Dirac-Impulsen in der Lösung ausschließen zu können, müssen die Koeffizientenmatrizen der LTI DDAE bestimmte algebraische Bedingungen erfüllen. Diese Bedingungen können durch eine Nachverfolgung sogenannter primärer Unstetigkeitsstellen hergeleitet werden. Teilweise können die erhaltenen Ergebnisse auf nichtlineare DDAEs verallgemeinert werden, was zu neuen Existenz- und Eindeutigkeitsresultaten führt. Der zweite Teil der Arbeit befasst sich mit der Konstruktion einer DDAE aus einem vorgegebenen Datensatz, einer sogenannten Realisierung. Dabei liefert das Zeitverzögerungsglied in der Realisierung den Vorteil, dass aus endlich vielen Datenpunkten ein unendlich-dimensionales System konstruiert werden kann. Dieses System ist dann in der Lage, den transzendenten Charakter, der beispielsweise bei Transportgleichungen vorkommt, einer Übertragungsfunktion abzubilden. Unsere Konstruktion basiert darauf, dass die gegebenen Daten im Frequenzbereich interpoliert werden. Die Effektivität des Verfahrens wird anhand zahlreicher numerischer Beispiele demonstriert. | en |
| dc.description.sponsorship | DFG, SFB 910, Kontrolle selbstorganisierender nichtlinearer Systeme: Theoretische Methoden und Anwendungskonzepte | en |
| dc.identifier.uri | https://depositonce.tu-berlin.de/handle/11303/11817 | |
| dc.identifier.uri | http://dx.doi.org/10.14279/depositonce-10707 | |
| dc.language.iso | en | en |
| dc.rights.uri | https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/ | en |
| dc.subject.ddc | 515 Analysis | de |
| dc.subject.ddc | 518 Numerische Analysis | de |
| dc.subject.other | delay differential-algebraic equation | en |
| dc.subject.other | distributional solution concept | en |
| dc.subject.other | hybrid numerical-experimental system | en |
| dc.subject.other | non-intrusive model order reduction | en |
| dc.subject.other | structured realization | en |
| dc.subject.other | zeitverzögerte Differential-Algebraische Gleichungen | de |
| dc.subject.other | distributionelles Lösungskonzept | de |
| dc.subject.other | hybride numerisch-experimentelle Systeme | de |
| dc.subject.other | datenbasierte Modellreduktion | de |
| dc.subject.other | strukturierte Realisierung | de |
| dc.title | Well-posedness and realization theory for delay differential-algebraic equations | en |
| dc.title.translated | Wohlgestelltheit und Realisierungstheory für zeitverögerte Differential-Algebraische Gleichungen | de |
| dc.type | Doctoral Thesis | en |
| dc.type.version | acceptedVersion | en |
| tub.accessrights.dnb | free | en |
| tub.affiliation | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften::Inst. Mathematik::FG Numerische Mathematik | de |
| tub.affiliation.faculty | Fak. 2 Mathematik und Naturwissenschaften | de |
| tub.affiliation.group | FG Numerische Mathematik | de |
| tub.affiliation.institute | Inst. Mathematik | de |
| tub.publisher.universityorinstitution | Technische Universität Berlin | en |