# Discrete confocal quadrics and checkerboard incircular nets

## Techter, Jan

Confocal quadrics constitute a special example of orthogonal coordinate systems. In this cumulative thesis we propose two approaches to the discretization of confocal coordinates, and study the closely related checkerboard incircular nets. First, we propose a discretization based on factorizable solutions to an integrable discretization of the Euler-Poisson-Darboux equation. The constructed solutions are discrete Koenigs nets and feature a novel discrete orthogonality constraint defined on pairs of dual discrete nets, as well as a corresponding discrete isothermicity condition. The coordinate functions of these discrete confocal coordinates are explicitly given in terms of gamma functions. Secondly, we show that classical confocal coordinates and their reparametrizations along coordinate lines are characterized by orthogonality and the factorization property. We use these two properties to propose another discretization of confocal coordinates, while again employing the aforementioned discrete orthogonality constraint. In comparison to the first approach, this definition results in a broader class of nets capturing arbitrary reparametrizations also in the discrete case. We show that these discrete confocal coordinate systems may equivalently be constructed geometrically via polarity with respect to a sequence of classical confocal quadrics. Different sequences correspond to different discrete parametrizations. We give several explicit examples, including parametrizations in terms of Jacobi elliptic functions. A particular example of discrete confocal coordinates in the two-dimensional case is closely related to incircular nets, that is, congruences of straight lines in the plane with the combinatorics of the square grid such that each elementary quadrilateral admits an incircle. Thus, thirdly, we classify and integrate the class of checkerboard incircular nets, which constitute the Laguerre geometric generalization of incircular nets. Further aspects of the novel discrete orthogonality constraint are studied in the introduction of this thesis. These include discrete LamÃ© coefficients, discrete focal nets, discrete parallel nets, and discrete isothermicity, as well as the relation to pairs of circular and conical nets.
Konfokale Quadriken bilden ein Beispiel fÃ¼r orthogonale Koordinatensysteme. In dieser kumulativen Dissertation werden zwei AnsÃ¤tze zur Diskretisierung konfokaler Koordinaten sowie der Zusammenhang zu Schachbrettinkreisnetzen behandelt. Der erste Ansatz begrÃ¼ndet sich auf einer integrablen Diskretisierung der Euler Poisson-Darboux-Gleichung. Die konstruierten LÃ¶sungen sind diskrete Koenigs-Netze und durch eine neue diskrete OrthogonalitÃ¤tsbedingung gekennzeichnet. Die Koordinatenfunktionen sind explizit durch gamma-Funktionen gegeben. FÃ¼r den zweiten Ansatz zeigen wir zunÃ¤chst, dass klassische konfokale Koordiatensysteme bis auf Umparametrisierung entlang der Koordinatenlinien durch OrthogonalitÃ¤t und die Faktorsierbarkeit bereits charakterisiert sind. Wir Ã¼bertragen diese beiden Eigenschaften auf eine weitere Definition diskreter konfokaler Koordinaten, wieder unter Verwendung der genannten neuen diskreten OrthogonalitÃ¤tsbedingung. Diese Definition fÃ¼hrt zu einer grÃ¶ÃŸeren Klasse von Netzen als im ersten Ansatz und beinhaltet beliebege Umparametriesierungen. Es wird gezeigt, dass diese diskreten konfokalen Koordinaten durch eine Ã¤quivalente geometrische Konstruktion durch PolaritÃ¤t in einer Folge von klassischen konfokalen Quadriken charakterisiert ist. Verschiedene Folgen entsprechen verschiedenen diskreten Parametrisierungen. Wir geben eine Vielzahl von konkreten Beispielen an, insebesondere eine Parametrisierung durch Jacobi elliptische Funktionen. Ein besonderes Beispiel von diskreten konfokalen Koordinaten im zwei-dimensionalen Fall ist durch Inkreisnetze gegeben. Inkreisnetzte sind durch zwei Folgen von Geraden in der Ebene mit der Kombinatorik des Quadratgitters gegeben, so dass alle elementaren Vierecke einen Inkreis besitzen. Wir klassifizieren und integrieren die zugehÃ¶rige Laguerre-geometrische Verallgemeinerung der Schachbrettinkreisnetze. Weitere Aspekte der neuen diskreten OrthogonalitÃ¤tzbedingung werden in der Einleitung behandelt. Unter anderem diskrete LamÃ©-Koeffizienten, diskrete Fokalnetze, diskrete Parallelnetze, sowie der Zusammenhang zu Paaren von zirkulÃ¤ren und konischen Netzen.
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