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In this master’s thesis we adapt recent results on optimal control of continuous-time linear differential-algebraic equations to the discrete-time case of implicit difference equations. First, we adapt equivalent characterizations of solvability of the so-called Kalman- Yakubovich-Popov inequality for differential-algebraic equations to the case of implicit difference equations. That is, we relate the solvability of a certain matrix inequality to the positivity of the Popov function on the unit circle. An essential difference between the continuous-time and the discrete-time linear-quadratic optimal control problem is due to different structures occurring during the analysis in the form of even or palindromic matrix pencils, respectively. Therefore, with the help of certain structured Kronecker canonical forms, we adapt characterizations of inertia of even matrix pencils to palindromic matrix pencils. To this end, we first introduce a suitable notion of inertia for palindromic matrix pencils. These results are used – analogously to the continuous-time case – to characterize solvability of Lur’e equations equivalently by the existence of certain deflating subspaces of the palindromic matrix pencil. Then we use these findings to describe feasibility and the structure of solutions of the linear-quadratic control problem with infinite time horizon. Finally, these results are illustrated by means of an example.
In dieser Masterarbeit werden aktuelle Ergebnisse zur Optimalsteuerung zeitkontinuierlicher linearer differentiell-algebraischer Gleichungen auf den zeitdiskreten Fall impliziter Differenzengleichungen übertragen. Zunächst werden äquivalente Charakterisierungen zur Lösung der sogenannten Kalman-Yakubovich-Popov-Ungleichung für differentiell-algebraische Gleichungen auf den Fall impliziter Differenzengleichungen übertragen, d. h. die Lösung einer bestimmten linearen Matrixungleichung wird mit der Positivität der Popov-Funktion auf dem Einheitskreis in Verbindung gebracht. Ein wesentlicher Unterschied zwischen dem zeitdiskreten und dem zeitkontinuierlichen linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblem besteht in der bei der Analyse auftretenden Struktur in Form eines geraden bzw. palindromischen Matrizenbüschels. Anschließend werden daher – mithilfe geeigneter strukturierter Kronecker-Normalformen – Charakterisierungen über die Trägheit für gerade Matrizenbüschel auf palindromi- sche Matrizenbüschel übertragen. Dazu wird zunächst ein geeigneter Trägheitsbegriff für palindromische Matrizenbüschel eingeführt. Diese Ergebnisse werden benutzt, um – analog zum zeitkontinuierlichem Fall – die Lösbarkeit von Lur’e-Gleichungen äquivalent durch die Existenz bestimmter invarianter Unterräume des palindromischen Matrizenbüschels zu beschreiben. Danach werden die gewonnenen Resultate genutzt, um Zulässigkeit und die Struktur von Lösungen des linear-quadratischen Optimalsteuerungsproblems für implizite Differenzengleichungen mit unendlichem Zeithorizont zu untersuchen. Abschließend werden die Ergebnisse anhand eines Beispiels verdeutlicht.
