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Temporal discretization of constrained partial differential equations
Zimmer, Christoph
This thesis is devoted to the application and analysis of time integration schemes for differential-algebraic equations (DAEs) stated in (abstract) Banach spaces. The existence, uniqueness, and regularity of solutions of these so-called operator DAEs are analyzed with the help of temporal discretization methods. The convergence behavior of the time-discrete approximations and their convergence orders are addressed as well.
Besides being of interest as a generalization of the concept of DAEs to the infinite-dimensional setting, operator DAEs are an abstract approach for the analysis of constrained partial differential equations (PDEs) in their weak form. The constraints on the solution of the PDEs are possibly given by spatial differential operators like the divergence-free condition on the velocity field in the incompressible Navier-Stokes equations. Examples of constrained PDEs appear in all kinds of physical fields such as fluid dynamics, thermodynamics, electrodynamics, mechanics, chemical kinetics, as well as in multi-physical applications where different physical domains are coupled.
The first main results of this thesis cover the existence, uniqueness, and regularity of solutions of semi-linear, semi-explicit operator DAEs. In this analysis, the challenges known for DAEs and PDEs have to be tackled simultaneously. These include a limited set of feasible initial values, requirements on the temporal and spatial regularity of the data, and a high sensitivity to perturbations. For operator DAEs with time-independent operators, continuity results for the solutions in the data are used to extend well-known existence, uniqueness, and regularity results to systems with less regular or state-dependent right-hand sides. Similar results for operator DAEs with time-dependent operators are derived by studying the convergence of time-discrete solutions obtained by the implicit Euler method. In this study, time-varying inner products as well as time-dependent kernels of the constraints operators complicate the analysis.
As the second main topic, the convergence of the temporal discretization of semi-explicit operator DAEs by implicit, algebraically stable Runge-Kutta methods and explicit exponential integrators is analyzed. As expected from the theory of DAEs and PDEs, the convergence properties depend strongly on the assumed temporal and spatial regularity of the data, vary for the single variables, and differ from finite-dimensional systems. For Runge-Kutta schemes, a regularization is introduced and
the strong convergence of the time-discrete approximations under minimal regularity assumptions is proven. A convergence order of q + 1 and of q + 1/2 is shown for the state and the Lagrange multiplier, respectively. Here, q denotes the stage order of the Runge-Kutta scheme. For explicit exponential integrators, order conditions for methods up to order three are derived for the state of semi-linear operator DAEs. In addition, an approximation of the Lagrange multiplier is introduced whose convergence order is reduced by half an order. For both classes of integration schemes, sufficient conditions are formulated which increase the convergence order. The results are supported by numerical examples.
Diese Arbeit befasst sich mit der Anwendung von Zeitintegrationsverfahren auf differentiell-algebraische Gleichungen (DAEs), welche in (abstrakten) Banachräumen gestellt sind. Die Existenz, Eindeutigkeit sowie die Glattheit der Lösungen von diesen sogenannten Operator-DAEs werden mit Hilfe von Einschrittverfahren analysiert. Sowohl das Konvergenzverhalten der zeitdiskreten Approximationen als auch deren Konvergenzordnung sind ebenfalls Untersuchungsschwerpunkt.
Operator-DAEs stellen eine Verallgemeinerung des DAE-Begriffs auf Systeme in unendlich-dimensionalen Vektorräumen dar. Dabei lassen sich mit ihnen partielle Differentialgleichungen mit Nebenbedingung (PDAEs) untersuchen, die in ihrer schwachen Formulierung gestellt sind. Diese Nebenbedingungen an die Lösung von den partiellen Differentialgleichungen (PDEs) sind möglicherweise durch Differentialoperatoren gegeben. Zum Beispiel wird in den inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen an das Geschwindigkeitsfeld gefordert, dass dessen Divergenz verschwindet. PDAEs treten in vielen Anwendungsbereiche auf, wie zum Beispiel in der Fluiddynamik, Thermodynamik, Elektrodynamik, Mechanik, chemischen Kinetik sowie in multiphysikalischen Anwendungen, in denen verschiedene physikalische Domänen miteinander gekoppelt werden.
Die Existenz, Eindeutig und Glattheit von Lösungen von semi-linearen, semi-expliziten Operator-DAEs sind die ersten Untersuchungsschwerpunkte dieser Arbeit. Dabei müssen die Herausforderungen, die von DAEs und PDEs bekannt sind, gleichzeitig gemeistert werden. Diese Herausforderungen umfassen unter anderem eine eingeschränkte Menge zulässiger Anfangswerte, Glattheitsanforderungen an die Daten sowohl in der Zeit als auch im Ort, sowie eine starke Störungsempfindlichkeit. Für Operator-DAEs mit zeitunabhängigen Operatoren wird die stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Daten genutzt, um wohlbekannte Existenz-, Eindeutigkeits- und Glattheitsresultate auf Systeme mit schwächeren Voraussetzungen an die rechten Seiten oder mit zustandsabhängigen rechten Seiten zu erweitern. Ähnliche Ergebnisse für Operator-DAEs mit zeitabhängigen Operatoren werden mittels einer Konvergenzuntersuchung von zeitdiskreten Lösungen bewiesen. Die zeitdiskreten Lösungen entspringen dabei der Diskretisierung durch das implizite Euler Verfahren. Zeitvariante Skalarprodukte sowie zeitabhängige Kerne des Operators, der die algebraischen Nebenbedingungen stellt, erschweren dabei die Untersuchung.
Die Konvergenz der zeitlichen Diskretisierung von semi-expliziten Operator-DAEs durch implizite, algebraisch stabile Runge-Kutta-Verfahren sowie durch explizite, exponentielle Integratoren wird im zweiten Hauptteil dieser Arbeit betrachtet. Wie von der Theorie der DAEs und PDEs zu erwarten ist, hängen die Konvergenzeigenschaften stark von der zeitlichen und örtlichen Glattheit der Daten ab, variieren für die einzelnen Zustandsvariablen und unterscheiden sich im Vergleich zu endlichdimensionalen Systemen. Für die Runge-Kutta-Methoden wird eine Regularisierung eingeführt und die starke Konvergenz der zeitdiskreten Approximationen unter minimalen Annahmen an die Daten bewiesen. Es wird gezeigt, dass die Konvergenzordnung gleich q + 1 für die Zustandsvariable ist und für den Lagrange-Multiplikator q + 1/2 entspricht. Dabei bezeichnet q die Stufenordnung des Runge-Kutta Verfahrens. Für die Anwendung von exponentiellen Integratoren auf semi-lineare Operator-DAEs werden die Ordnungsbedingungen bis zur dritten Ordnung hergeleitet. Zusätzlich wird eine Approximation des Lagrange-Multiplikators eingeführt, dessen Konvergenzordnung um eine halbe Ordnung reduziert ist. Für beide Klassen von Integrationsverfahren werden hinreichende Bedingungen formuliert, die die Konvergenzordnung verbessern. Numerische Beispiele illustrieren die Ergebnisse.
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