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In dieser Arbeit wird die constraint method entwickelt, die sich auf zum topologischen Tverberg Theorem verwandte Probleme über Schnitte paarweise disjunkter Seiten in einem stetigen Bild eines Simplizialkomplexes anwenden lässt. Mithilfe dieser elementaren kombinatorischen Methode werden solche Sätze auf das topologische Tverberg Theorem reduziert. Diese Resultate sind ein gemeinsames Projekt mit Pavle Blagojević und Günter M. Ziegler. Zudem gelingt es mit dieser Methode die Kodimensionsvoraussetzung in einem Satz von Mabillard und Wagner (Eliminating Tverberg Points, I. An Analogue of the Whitney Trick, Proc. 30th Annual Symp. Comput. Geom. (SoCG), Kyoto, June 2014, ACM, 2014, pp. 171–180.) zu umgehen und somit die Existenz von Gegenbeispielen zur topologischen Tverberg Vermutung zu beweisen.
Es werden kombinatorische Konstruktionen vorgestellt, um Triangulierungen von Mannigfaltigkeiten mit niedriger Valenz zu erhalten. Insbesondere gibt das einen elementaren Beweis eines Satzes von Brady, McCammond und Meier (Bounding edge degrees in triangulated 3-manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), 291–298.) über die Existenz von Triangulierungen von 3-Mannigfaltigkeiten mit Valenzschranken. Für höhere Dimensionen wird gezeigt, dass jede PL-Mannigfaltigkeit eine Triangulierung mit Valenz höchstens neun hat. Gewisse lokale kombinatorische Eigenschaften von 3-dimensionalen Triangulierungen führen zu Mannigfaltigkeiten mit isotroper Geometrie. Diese Resultate sind ein gemeinsames Projekt mit Frank Lutz und John M. Sullivan.
Das letzte Kapitel enthält einen einfachen Beweis eines Resultats von Miller und Pak (Metric Combinatorics of Convex Polyhedra: Cut Loci and Nonoverlapping Unfoldings, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), no. 1-3, 339–388.), dass keine metrische Obstruktion zu Shephards Vermutung über die Entfaltbarkeit von Polytopen in beliebiger Dimension existiert
We develop the constraint method for Tverberg-type results and give numerous applications of it, reproving and strengthening several Tverberg-type results via a combinatorial reduction from the topological Tverberg theorem. These results are joint work with Pavle Blagojević and Günter M. Ziegler. Most importantly, this gives an elementary route to circumvent the codimension requirement in work of Mabillard and Wagner (Eliminating Tverberg Points, I. An Analogue of the Whitney Trick, Proc. 30th Annual Symp. Comput. Geom. (SoCG), Kyoto, June 2014, ACM, 2014, pp. 171–180.), and thus gives rise to counterexamples to the topological Tverberg conjecture.
We will present combinatorial constructions to obtain manifold triangulations of low valence, thus reproving a result of Brady, McCammond, and Meier (Bounding edge degrees in triangulated 3-manifolds, Proc. Amer. Math. Soc. 132 (2004), 291–298.) on 3-dimensional manifold triangulations with valence bounds in an elementary way. For higher dimensions we provide the first valence bound that does not depend on the dimension: every PL-manifold admits a triangulation with valences of subridges bounded by nine. We show that certain local combinatorics for 3-dimensional triangulations lead to manifolds with isotropic geometry. These results are joint work with Frank Lutz and John M. Sullivan.
In the last chapter we will give a conceptually simple proof of the result of Miller and Pak (Metric Combinatorics of Convex Polyhedra: Cut Loci and Nonoverlapping Unfoldings, Discrete Comput. Geom. 39 (2008), no. 1-3, 339–388.) that there are no metric obstruction to Shephard’s conjecture about the unfoldability of polytopes in any dimension
